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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 33

Calcule

int_((1)/(2))^1 (s + 2) d s

Passo 1

Podemos reescrever a integral como sendo:

int_((1)/(2))^1 (s + 2) d s = int_((1)/(2))^1 s d s + int_((1)/(2))^1 2 d s

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int s^n d s = (s^(n + 1))/(n + 1)

Para int s d s = int s^1 d s , n = 1

int s^1 d s = (s^(n + 1))/(n + 1) = (s^(1 + 1))/(1 + 1) = (s^2)/(2)

Para int 2 d s = 2 int s^0 d s , n = 0

2 int s^0 d s = 2 (s^(n + 1))/(n + 1) = 2 (s^(0 + 1))/(0 + 1) = 2 (s)/(1) = 2 s

int_((1)/(2))^1 (s + 2) d s = [(s^2)/(2) + 2 s]

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (s) uma primitiva de f (s) , então:

int_a^b f (s) d s = F (b) - F (a)

Assim: [(s^2)/(2) + 2 s] (1)/((1)/(2)) =

= (((1)^2)/(2) + 2 (1) - ((((1)/(2))^2)/(2) + 2 ((1)/(2)))) = ((1)/(2) + 2 - ((((1)/(4)))/(2) + 1)) =

= ((1 + 4)/(2) - ((1)/(8) + 1)) = ((5)/(2) - ((1 + 8))/(8)) = (20 - 9)/(8) = (11)/(8)

Resposta

int_((1)/(2))^1 (s + 2) d s = (11)/(8)

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