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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.5 - Ex. 45

Calcule

int_0^((pi)/(3)) (3 + cos 3 x) d x

Passo 1

Podemos usar a propriedade que diz que a integral da soma é a soma das integrais e dividir a integral em duas:

int_0^((pi)/(3)) (3 + cos 3 x) d x = int_0^((pi)/(3)) 3 d x + int_0^((pi)/(3)) cos 3 x d x

Então faremos uma substituição tal que 3 x = u -> 3 d x = d u -> d x = (d u)/(3)

E que 3 ((pi)/(3)) = pi e 3 (0) = 0

int_0^((pi)/(3)) (3 + cos 3 x) d x = int_0^((pi)/(3)) 3 d x + (1)/(3) int_0^(pi) cos u d u

Passo 2

Vamos agora lembrar que se:

(d (sin u))/(d u) = cos u -> int cos u d u = sin u

Assim:

(1)/(3) int_0^(pi) cos u d u = (1)/(3) [sin u] (pi)/(0)

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1)

Para int 3 d x = 3 int x^0 d x , n = 0

3 int x^0 d x = 3 (x^(n + 1))/(n + 1) = 3 (x^((0) + 1))/((0) + 1) = 3 (x^1)/(1) = 3 x

int_0^((pi)/(3)) 3 d x = [3 x] ((pi)/(3))/(0)

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F (x) uma primitiva de f (x) , então:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Assim: [3 x] ((pi)/(3))/(0) + (1)/(3) [sin u] (pi)/(0) =

= (3 ((pi)/(3)) - 3 (0)) + (1)/(3) (sin pi - sin 0) = (pi - 0) + (1)/(3) (0 - 0) = pi

Resposta

int_0^((pi)/(3)) (3 + cos 3 x) d x = pi

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