3.Calcule.

∫ sin ⁡ x cos ⁡ x d x

Passo 1

Vamos primeiro fazer uma mudança de variável, chamaremos cos ⁡ x de u :

cos ⁡ x = u

Passo 2

Derivaremos cada membro da equação abaixo: cos ⁡ x   = u

- sin ⁡ x d x = d u  

Isoanlando sin ⁡ x d x  

sin ⁡ x d x = - d u

Agora vamos mexer um pouco na integral para facilitar na hora da substituição!

∫ sin ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ cos ⁡ x sin ⁡ x d x

Passo 3

Já temos como escrever tudo em função de u , então faremos a substituição e ficará assim:

∫ sin ⁡ x cos ⁡ x d x = ∫ u - d u

Como esse - 1   multiplicando o du é constante podemos passa-lo pra frente da integral, além disso também é interessante para nós escrever essa raiz quadrada como expoente!! Se fizermos isso chegaremos em :

∫ sin ⁡ x cos ⁡ x d x = - ∫ u 1 2 d u

∫ sin ⁡ x cos ⁡ x d x =   - 2 3 u 3 + C

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o   u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos calcular a integral!!!

∫ sin ⁡ x cos ⁡ x d x =   - 2 3 cos 3 ⁡ x + C

Resposta

∫ sin ⁡ x cos ⁡ x d x =   - 2 3 cos 3 ⁡ x + C

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