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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 3d

3.Calcule.

int sin x sqrt(cos x) d x

Passo 1

Vamos primeiro fazer uma mudança de variável, chamaremos cos x de u :

cos x = u

Passo 2

Derivaremos cada membro da equação abaixo: cos x = u

- sin x d x = d u

Isoanlando sin x d x

sin x d x = - d u

Agora vamos mexer um pouco na integral para facilitar na hora da substituição!

int sin x sqrt(cos x) d x = int sqrt(cos x) (sin x d x)

Passo 3

Já temos como escrever tudo em função de u , então faremos a substituição e ficará assim:

int sin x sqrt(cos x) d x = int sqrt(u) (- d u)

Como esse (- 1) multiplicando o du é constante podemos passa-lo pra frente da integral, além disso também é interessante para nós escrever essa raiz quadrada como expoente!! Se fizermos isso chegaremos em :

int sin x sqrt(cos x) d x = - int u^((1)/(2)) d u

int sin x sqrt(cos x) d x = - (2)/(3) sqrt(u^3) + C

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos calcular a integral!!!

int sin x sqrt(cos x) d x = - (2)/(3) sqrt(cos^3 x) + C

Resposta

int sin x sqrt(cos x) d x = - (2)/(3) sqrt(cos^3 x) + C

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