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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 3r

3.Calcule.

int tan^3 x cos x d x

Passo 1

Vamos primeiro fazer uma mudança de variável, chamaremos cos x de u :

cos x = u

Derivaremos cada membro da equação abaixo:

cos x = u

- sin x d x = d u

Ou seja

sin x d x = - d u

Passo 2

Agora vamos tentar melhorar a expressão dentro da integral antes de substituir u !

tan^3 x cos x = (sin^3 x)/(cos^3 x) xx cos x

tan^3 x cos x = (sin^3 x)/(cos^2 x)

Relembrando que :

sin^2 x = 1 - cos^2 x

Teremos:

tan^3 x cos x = ((1 - cos^2 x))/(cos^2 x) xx sin x

E para melhorar a visualização na hora de substituir vamos reescrever a Integral assim:

int tan^3 x cos x d x = int ((1 - cos^2 x))/(cos^2 x) sin x d x

Passo 3

Já temos como escrever tudo em função de u , então faremos a substituição e ficará assim:

int tan^3 x cos x d x = int - ((1 - u^2))/(u^2) d u

int tan^3 x cos x d x = int (- (1)/(u^2) + 1) d u

int tan^3 x cos x d x = u + (1)/(u) + C

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos calcular a integral!!!

int tan^3 x cos x d x = cos x + (1)/(cos x) + C

int tan^3 x cos x d x = cos x + sec x + C

Resposta

int tan^3 x cos x d x = cos x + sec x + C

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