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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 3i

1.Calcule.

A) int tan^3 x sec^2 x d x

Passo 1

Uma questão que precisaremos fazer uma simples substituição, mas vamos com calma e atenção. E chamaremos tan x de u :

tan x = u

Temos que ter TODOS os termos em função de u , inclusive d x e como faremos isso? Sem estresse, iremos derivar a expressão:

( tan x ) ' = ( u ) '

sec^2 x d x = d u

Passo 2

Anotando aquilo que já obtemos:

tan x = u

Elevando ao cubo, pois temos tan^3 x e não tan x na integral:

tan^3 x = u^3

Não se esqueça do d x , é um passo importante para resolvermos:

sec^2 x d x = d u

Agora temos tudo em função de u , nossa primeira missão foi concluída, Substituiremos:

int tan^3 x sec^2 x d x = int u^3 d u

Passo 3

A integral acima é imediata, lembra? Não, então toma essa colher de chá ( int u^n d u = (1)/(n + 1) u^(n + 1) + c ) e para nossa integral, n = 3

int u^3 d u = (1)/(4) u^4 + c

A nossa resposta não deve ser em função de u hein, mas sim em função de x ( tan x = u ) . Retornando e obteremos a resposta:

int tan^3 x sec^2 x d x = (1)/(4) tan^4 x + c

Resposta

int tan^3 x sec^2 x d x = (1)/(4) tan^4 x + c

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