Enunciado

Você foi incumbido de determinar se a função f ( x )   =   3   +   4   c o s   x   +   c o s   2 x é negativa em algum momento.

A. Explique por que você precisa considerar apenas os valores de x do intervalo [ 0 ,   2 π ] .

B. f é negativa em algum momento? Explique.

Passo 1

Precisamos determinar se a função f ( x ) é negativa em algum momento. Primeiramente devemos explicar porque o nosso intervalo de busca é [ 0 ,   2 π ] , ou seja, porque é suficiente considerar apenas valores de x dentro desse intervalo, depois mostrarmos se em algum ponto a função assume um valor negativo.

Passo 2

É suficiente para nós consideramos valores de x dentro do intervalo dado porque nossa f ( x ) é periódica, ou seja, em algum momento ela vai começar a se repetir isso por conta do 4 cos x  e cos ⁡ 2 x e o período dela é de 2 π .

Passo 3

Vamos escrever nossa função podermos analisa-la

f x =   3   +   4 cos ⁡ x + cos ⁡ 2 x

f ( x )   =   3   +   4   c o s   x   + ( 2 cos 2 ⁡ x - 1 )

f ( x )   =   2   +   4   c o s   x   + 2 cos 2 ⁡ x

f x =   2 ⋅ [ 1   +   2   c o s ⁡ x   + cos 2 ⁡ x ]

f x =   2 ⋅ 1 + cos ⁡ x 2

∴ f x ≥ 0

Resposta

  1. Porque a função é periódica de período 2 π .
  2. f x nunca é negativa
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