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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.7 - Ex. 6

6. y = ln x , y = - 1 , y = 2 e x = 0

Passo 1

Nós devemos encontrar o volume gerado pela revolução de R em torno do eixo dos y.

 Nós temos:

f (x) = ln x

O gráfico dessa equação é o seguinte:

No eixo x temos: 0 <= x <= ln x

No eixo y temos: - 1 <= y <= - 2

Passo 2

Para obtermos o volume gerado pela revolução de R em torno do eixo y, usaremos a seguinte formula:

V = pi int_a^b [f (y)]^2 d y

Como o enunciado me fornece uma f ( x ) e estamos integrando em relação a y, precisamos encontrar uma f ( y ) .

f (x) = ln x

y = ln x

e^y = e^(ln x) ⟶ x = e^y = f ( y )

Passo 3

Portanto, o volume é:

V = pi int_(- 1)^2 (e^y)^2 d y

= pi ((1)/(2) e^(2 x)|_(- 1)^2

= (pi)/(2) * ( e^4 - e^(- 2) ) u . v .

Resposta

(pi)/(2) * ( e^4 - e^(- 2) ) u . v .

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Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = 1 - 3 x , pelo eixo x e pela reta x = 1 gira em torno do eixo x .
Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = 1 + 2 x , pelo eixo x , e pelas retas x = 1 e x = 4 , gira em torno do eixo x .
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.Eixo x
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo x A região, no primeiro quadrante, limitada acima pela reta y = 2 . Abaixo pela curva y
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno do eixo y A região limitada pelo triângulo com vértices em 1,0 , 2,1 e 1,1 .