12. y^2 = 2x, x = 0, y = 0 e y = 2, ao redor do eixo dos y .

Passo 1

Temos f x 2 = 2 x

Como estamos integrando em função de y agora, precisamos obter a f ( y ) correspondente ao f ( x ) dado.

y 2 = 2 x

x = y 2 2 = f ( y )

Com:

0   ≤   x   ≤ 2

0 ≤ y ≤ 2

Passo 2

Para obtermos o volume gerado pela revolução de R em torno do eixo y, usaremos a seguinte formula:

V = π ∫ a b f ( y ) 2   d y  

Passo 3

Portanto, o volume é:

V = π ∫ 0 2 y 2 2 2   d y

= π ∫ 0 2 ( y 4 4 )   d y

π 4 y 5 5 0 2 =

= 8 5 π   u . v

Resposta

8 5 π   u . v

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