12. y^2 = 2x, x = 0, y = 0 e y = 2, ao redor do eixo dos y .

Passo 1

Temos f (x)^2 = 2 x

Como estamos integrando em função de y agora, precisamos obter a f ( y ) correspondente ao f ( x ) dado.

y^2 = 2 x

x = (y^2)/(2) = f ( y )

Com:

0 <= x <= 2

0 <= y <= 2

Passo 2

Para obtermos o volume gerado pela revolução de R em torno do eixo y, usaremos a seguinte formula:

V = pi int_a^b [f ( y )]^2 d y

Passo 3

Portanto, o volume é:

V = pi int_0^2 ((y^2)/(2))^2 d y

= pi int_0^2 ( (y^4)/(4) ) d y

((pi)/(4) ((y^5)/(5))|_0^2 =

= (8)/(5) pi u . v

Resposta

(8)/(5) pi u . v

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