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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.7 - Ex. 4

4. y = cos x , y = sen x , x = 0 e x = (pi)/(4)

Passo 1

Temos que encontrar o volume do sólido através da rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo x:

y = cos x e y = sen x

O gráfico dessa equação é o seguinte:

Passo 2

A área de seção transversal é A (x) = pi (c o s x)^2 - pi ( sen x )^2

Para obtermos o volume gerado pela revolução de R em torno do eixo x, usaremos a seguinte fórmula:

V = pi int_a^b A ( x ) d x

Portanto, o volume é:

V = pi int_o^((pi)/(4)) ( cos^2 x - sen^2 x ) d x

= pi int_o^((pi)/(4)) ( cos^2 x - sen^2 x ) d x

= pi int_o^((pi)/(4)) ((1 + cos 2 x)/(2) - (1 - cos 2 x)/(2)) d x

Simplificando, temos

= pi int_o^((pi)/(4)) c o s (2 x) d x

= ((pi)/(2) ( sen 2 x )|_0^((pi)/(4))

= (pi)/(2) u . v

Resposta

= (pi)/(2) u . v

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