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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 58

Calcule a integral.

int (cos theta)/(sin^2 theta - 6 sin theta + 12) d theta

Passo 1

Para essa integral, aplicamos o método da substituição, em que u = sin theta :

int (1)/(u^2 - 6 u + 12) d u

Agora usando o método de completar quadrados, temos:

int (1)/((u - 3)^2 + 3) d u

Aplicando outra substituição de v = u - 3 :

int (1)/(v^2 + 3) d v

E novamente v = sqrt(3) w :

int (1)/(sqrt(3) ( w^2 + 1 )) d w

(1)/(sqrt(3)) int (1)/(w^2 + 1) d w

Aplicando regras de integração:

(1)/(sqrt(3)) int (1)/(w^2 + 1) d w = (1)/(sqrt(3)) arctan w + C

Voltando para a variável theta :

int (cos theta)/(sin^2 theta - 6 sin theta + 12) d theta = (1)/(sqrt(3)) arctan ((sin theta - 3)/(sqrt(3))) + C

Prontinho!!

Resposta

(1)/(sqrt(3)) arctan ((sin theta - 3)/(sqrt(3))) + C

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