Um retângulo no plano tem vértices em , e um quadrado no plano tem seus lados paralelos aos eixos coordenados, mede por e tem seu canto inferior esquerdo na reta . Qual é a maior área possível de uma região no plano que esteja contida em ambos, e ?

A gente sabe que o quadrado tem o vértice na reta . Então a gente pode dizer que o vértice dele está no ponto:

Mas repara que esse ponto só pode estar dentro do retângulo. Isso significa que esse não vai ser todos os reais, mas só os valores de para quais a reta está dentro desse retângulo.

Pela localização do nosso retângulo, vemos que está entre as retas:

Substituindo esses valores de em , e isolando , achamos:

Por isso, podemos dizer que nosso está entre esses valores. Reescrevendo nosso vértice:

Vamos olhar uma figura nova:

Queremos a área do retângulo menor, que podemos escrever como:

Mas quem é e ?

Olhando para figura, vemos que é um valor que está entre e a coordenada do ponto , que vale . Podemos dizer então:

Dá para fazer a mesma coisa com . É um valor que está entre e a coordenada do ponto , que vale . E aí:

Reescrevendo a área:

Com a expressão da área, podemos tentar descobrir o valor máximo dela. Como ela é um polinômio, o valor máximo vai acontecer nos extremos ou valores de onde . Esses serão nossos candidatos!

Vamos derivar essa função da área e igualar a zero:

Igualando a zero:

Nossos candidatos são:

Agora a gente sustitui eles na função da área para saber qual resulta no maior valor de :

O que resultou no maior valor foi , e a gente descobriu que a área máxima da região que o enunciado pediu é: