Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.4 - Ex. 28

Calcule a integral.

∫ 0 9 2 t   d t

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão juntos ☺️?

Precisamos calcular o valor da integral definida

∫ 0 9 2 t   d t .

✏️ Anota aí: O intervalo de integração [ a ,   b ] é igual a [ 0 ,   9 ] e o integrando é a função

f t =   2 t ,

ou seja,

f t = 2 t 1 2 .

Reescrever a função f dessa forma vai facilitar o nosso trabalho, beleza 😉?

🛠️ Sabendo disso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:

  • Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo: se a função f é contínua no intervalo [ a ,   b ] então

    • ∫ a b f t d t = ∫ f t d t ] a b

    onde ∫ f t d t é a primitiva da função f , ou seja,

    d d t ∫ f ( t ) d t   = f t .

  • A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.

∫ c f t d t =   c ∫ f ( t ) d t .

  • Regra da Potência: para qualquer n ≠ 1 ,   a integral indefinida da função t n é a função

∫ t n   d t = t n + 1 n + 1 + B ,

onde B é uma constante qualquer.

Bem, isso é tudo o que precisamos para resolver a questão!

👀 Nos próximos passos, vamos encontrar a integral indefinida da função f e obter o seu valor nos extremos do intervalo [ 0 ,   9 ] .

Passo 2

Começamos encontrando a integral indefinida

∫ 2 t 1 2   d t .

Para isso, usamos as propriedades das integrais indefinidas dadas no Passo 1 .

Logo,

∫ 2 t 1 2   d t = 2 ∫ t 1 2   d t .

Usando a Regra da Potência em cada um dos termos, temos que

∫ 2 t 1 2   d t = 2 2 t 3 2 3 + C .

Observe que derivando a expressão que encontramos, temos que:

d d t 2 2 t 3 2 3 + C = 2 t 1 2 = f ( t ) ,

então não fizemos nenhuma besteira 🎉!

Passo 3

Agora, só precisamos usar a Parte 2 do Teorema Fundamental. Lembrando que o nosso intervalo de integração é [ 0 ,   9 ] , temos:

∫ 0 9 2 t 1 2 d t =   ∫ 2 t 1 2 d t ] 0 9 .

Como no Passo anterior encontramos que

∫ 2 t 1 2 d t = 2 2 t 3 2 3 + C ,

então calculando o valor da integral indefinida nos pontos extremos do intervalo de integração temos que:

Em t =   9

∫ 2 t 1 2 d t ​ | t = 9 = 2 2 ⋅ 9 3 2 3 + C ,

ou seja,

∫ 2 t 1 2 d t ​ | t = 9 = 18 2 + C .

Em t = 0

∫ 2 t 1 2 d t ​ | t = 0 = 2 2 ⋅ 0 3 2 3 + C ,

ou seja,

∫ 2 t 1 2 d t ​ | t = 0 = C .

Substituindo os valores encontrados na igualdade do Teorema, temos que:

∫ 0 9 2 t 1 2 d t = 18 2 + C - C .  

Dessa forma, a integral procurada vale

∫ 0 9 2 t   d t = ∫ 0 9 2 t 1 2 d t = 18 2 .

Resposta

A integral vale:

∫ 0 9 2 t   d t = 18 2 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral ∫ π 2 π cos ⁡ θ d θ
Calcule a integral:24) ∫ 1 8 x 3 . d x
Calcule a integral: ∫ 0 2 x 2 + x 5d x
Calcule a integral. ∫ 1 4 2 + x 2 x d x
Avalie a integral.int_0^1 (1 - 8 v^3 + 16 v^7) d v