Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.4 - Ex. 28

Fala, galera! Vamos resolver essa questão juntos ☺️?

Precisamos calcular o valor da integral definida

✏️ Anota aí: O intervalo de integração é igual a e o integrando é a função

ou seja,

Reescrever a função dessa forma vai facilitar o nosso trabalho, beleza 😉?

🛠️ Sabendo disso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:

Parte do Teorema Fundamental do Cálculo: se a função é contínua no intervalo então

onde é a primitiva da função , ou seja,

A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.

Regra da Potência: para qualquer a integral indefinida da função é a função

onde é uma constante qualquer.

Bem, isso é tudo o que precisamos para resolver a questão!

👀 Nos próximos passos, vamos encontrar a integral indefinida da função e obter o seu valor nos extremos do intervalo .

Começamos encontrando a integral indefinida

Para isso, usamos as propriedades das integrais indefinidas dadas no Passo .

Logo,

Usando a Regra da Potência em cada um dos termos, temos que

Observe que derivando a expressão que encontramos, temos que:

então não fizemos nenhuma besteira 🎉!

Agora, só precisamos usar a Parte 2 do Teorema Fundamental. Lembrando que o nosso intervalo de integração é , temos:

Como no Passo anterior encontramos que

então calculando o valor da integral indefinida nos pontos extremos do intervalo de integração temos que:

ou seja,

Substituindo os valores encontrados na igualdade do Teorema, temos que:

Dessa forma, a integral procurada vale

A integral vale:

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