Calcule

l )   ∫ e x cos ⁡ x d x

Passo 1

Nesse caso vamos usar a integração por partes, sendo que o objetivo da integração por partes é usar uma integral do tipo:

Se temos duas funções u x   e   v x podemos dizer que:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Para esse caso tanto faz quem escolhemos pro u   e   v , nesse caso vamos escolher u = e x → e x d x e d v = cos ⁡ x d x → v = sin ⁡ x

Assim:

∫ e x cos ⁡ x d x = sin ⁡ x e x - ∫ sin ⁡ x e x d x

Passo 2

Agora vamos integrar:

∫ e x cos ⁡ x d x = sin ⁡ x e x - ∫ sin ⁡ x e x d x

Novamente precisaremos aplicar a integração por partes:

∫ sin ⁡ x e x d x

Sendo, novamente, u = e x → d u = e x d x   e   d v = sin ⁡ x d x → v = - cos ⁡ x

∫ sin ⁡ x e x d x = - e x cos ⁡ x - ∫ - cos ⁡ x e x d x = - e x cos ⁡ x + ∫ cos ⁡ x e x d x

Substituindo:

∫ e x cos ⁡ x d x = sin ⁡ x e x - - e x cos ⁡ x + ∫ cos ⁡ x e x d x

∫ e x cos ⁡ x d x = sin ⁡ x e x + e x cos ⁡ x - ∫ cos ⁡ x e x d x

Passo 3

Se você reparar nessa igualdade vai ver que tem o mesmo termo dos dois lados:

∫ e x cos ⁡ x d x = sin ⁡ x e x + e x cos ⁡ x - ∫ e x cos ⁡ x d x

Assim, você pode passar pro outro lado e somar:

∫ e x cos ⁡ x d x + ∫ e x cos ⁡ x d x = sin ⁡ x e x + e x cos ⁡ x

2 ∫ e x cos ⁡ x d x = sin ⁡ x e x + e x cos ⁡ x

∫ e x cos ⁡ x d x = 1 2 sin ⁡ x e x + e x cos ⁡ x = 1 2 e x sin ⁡ x + cos ⁡ x

Lembrando sempre da constante

∫ e x cos ⁡ x d x = 1 2 e x sin ⁡ x + cos ⁡ x + k

Resposta

∫ e x cos ⁡ x d x = 1 2 e x sin ⁡ x + cos ⁡ x + k

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