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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 1l

Calcule

l ) int e^x cos x d x

Passo 1

Nesse caso vamos usar a integração por partes, sendo que o objetivo da integração por partes é usar uma integral do tipo:

Se temos duas funções u (x) e v (x) podemos dizer que:

int u d v = u v - int v d u

Para esse caso tanto faz quem escolhemos pro u e v , nesse caso vamos escolher u = e^x -> e^x d x e d v = cos x d x -> v = sin x

Assim:

int e^x cos x d x = sin x e^x - int sin x e^x d x

Passo 2

Agora vamos integrar:

int e^x cos x d x = sin x e^x - int sin x e^x d x

Novamente precisaremos aplicar a integração por partes:

int sin x e^x d x

Sendo, novamente, u = e^x -> d u = e^x d x e d v = sin x d x -> v = - cos x

int sin x e^x d x = - e^x cos x - int - cos x e^x d x = - e^x cos x + int cos x e^x d x

Substituindo:

int e^x cos x d x = sin x e^x - [- e^x cos x + int cos x e^x d x]

int e^x cos x d x = sin x e^x + e^x cos x - int cos x e^x d x

Passo 3

Se você reparar nessa igualdade vai ver que tem o mesmo termo dos dois lados:

int e^x cos x d x = sin x e^x + e^x cos x - int e^x cos x d x

Assim, você pode passar pro outro lado e somar:

int e^x cos x d x + int e^x cos x d x = sin x e^x + e^x cos x

2 int e^x cos x d x = sin x e^x + e^x cos x

int e^x cos x d x = (1)/(2) [sin x e^x + e^x cos x] = (1)/(2) e^x [sin x + cos x]

Lembrando sempre da constante

int e^x cos x d x = (1)/(2) e^x [sin x + cos x] + k

Resposta

int e^x cos x d x = (1)/(2) e^x [sin x + cos x] + k

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