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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 1p

Calcule

p ) int e^(- x) cos 2 x d x

Passo 1

Primeiro vamos fazer uma substituição tal que:

w = 2 x -> d w = 2 d x

(1)/(2) int e^(- (w)/(2)) cos w d w

Nesse caso vamos usar a integração por partes, sendo que o objetivo da integração por partes é usar uma integral do tipo:

Se temos duas funções u (w) e v (w) podemos dizer que:

int u d v = u v - int v d u

Para esse caso é mais fácil fazer u = e^(- (w)/(2)) -> d u = - (1)/(2) e^(- (w)/(2)) d w e v = sin w -> d v = cos w d w

Assim:

(1)/(2) int e^(- (w)/(2)) cos w d w = (1)/(2) [e^(- (w)/(2)) sin w - int - (1)/(2) e^(- (w)/(2)) sin w d w]

= (1)/(2) [e^(- (w)/(2)) sin w + (1)/(2) int e^(- (w)/(2)) sin w d w]

(1)/(2) int e^(- (w)/(2)) cos w d w = (1)/(2) e^(- (w)/(2)) sin w + (1)/(4) int e^(- (w)/(2)) sin w d w

Passo 2

Agora vamos integrar:

(1)/(2) int e^(- (w)/(2)) cos w d w = (1)/(2) e^(- (w)/(2)) sin w + (1)/(4) int e^(- (w)/(2)) sin w d w

Vamos ter outra integração por partes:

Vamos usar novamente: u = e^(- (w)/(2)) -> d u = - (1)/(2) e^(- (w)/(2)) d w e v = - cos w -> d v = sin w d w

int e^(- (w)/(2)) sin w d w = - cos w e^(- (w)/(2)) - int - (1)/(2) e^(- (w)/(2)) (- cos w) d w =

int e^(- (w)/(2)) sin w d w = - cos w e^(- (w)/(2)) - (1)/(2) int e^(- (w)/(2)) (cos w) d w =

Agora substituindo:

(1)/(2) int e^(- (w)/(2)) cos w d w = (1)/(2) e^(- (w)/(2)) sin w + (1)/(4) int e^(- (w)/(2)) sin w d w

(1)/(2) int e^(- (w)/(2)) cos w d w = (1)/(2) e^(- (w)/(2)) sin w + (1)/(4) [- cos w e^(- (w)/(2)) - (1)/(2) int e^(- (w)/(2)) (cos w) d w]

(1)/(2) int e^(- (w)/(2)) cos w d w = (1)/(2) e^(- (w)/(2)) sin w - (1)/(4) cos w e^(- (w)/(2)) - (1)/(8) int e^(- (w)/(2)) (cos w) d w

Repare que dos dois lados temos o termos: int e^(- (w)/(2)) cos w d w

Então podemos soma-los

(1)/(2) int e^(- (w)/(2)) cos w d w + (1)/(8) int e^(- (w)/(2)) (cos w) d w = (1)/(2) e^(- (w)/(2)) sin w - (1)/(4) cos w e^(- (w)/(2))

(4 + 1)/(8) int e^(- (w)/(2)) cos w d w = (1)/(2) e^(- (w)/(2)) sin w - (1)/(4) cos w e^(- (w)/(2))

int e^(- (w)/(2)) cos w d w = (8)/(5) [(1)/(2) e^(- (w)/(2)) sin w - (1)/(4) cos w e^(- (w)/(2))]

int e^(- (w)/(2)) cos w d w = (1)/(5) [4 e^(- (w)/(2)) sin w - 2 cos w e^(- (w)/(2))]

Voltando pra variável x :

int e^(- x) cos 2 x d x = (1)/(2) int e^(- (w)/(2)) cos w d w = (1)/(2) xx (1)/(5) [4 e^(- (w)/(2)) sin w - 2 cos w e^(- (w)/(2))] =

= (1)/(5) [2 e^(- x) sin 2 x - cos 2 x e^(- x)] = (1)/(5) e^(- x) [2 sin 2 x - cos 2 x]

Não esquecendo da constante:

int e^(- x) cos 2 x d x = (1)/(5) e^(- x) [2 sin 2 x - cos 2 x] + k

Resposta

int e^(- x) cos 2 x d x = (1)/(5) e^(- x) [2 sin 2 x - cos 2 x] + k

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Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d t
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