Calcule p ) int e^(- x) cos 2 x d x Passo 1Primeiro vamos fazer uma substituição tal que: w = 2 x -> d w = 2 d x (1)/(2) int e^(- (w)/(2)) cos w d w Nesse caso vamos usar a integração por partes, sendo que o objetivo da integração por partes é usar uma integral do tipo: Se temos duas funções u (w) e v (w) podemos dizer que: int u d v = u v - int v d u Para esse caso é mais fácil fazer u = e^(- (w)/(2)) -> d u = - (1)/(2) e^(- (w)/(2)) d w e v = sin w -> d v = cos w d w Assim: (1)/(2) int e^(- (w)/(2)) cos w d w = (1)/(2) [e^(- (w)/(2)) sin w - int - (1)/(2) e^(- (w)/(2)) sin w d w] = (1)/(2) [e^(- (w)/(2)) sin w + (1)/(2) int e^(- (w)/(2)) sin w d w] (1)/(2) int e^(- (w)/(2)) cos w d w = (1)/(2) e^(- (w)/(2)) sin w + (1)/(4) int e^(- (w)/(2)) sin w d w Passo 2Agora vamos integrar: (1)/(2) int e^(- (w)/(2)) cos w d w = (1)/(2) e^(- (w)/(2)) sin w + (1)/(4) int e^(- (w)/(2)) sin w d w Vamos ter outra integração por partes: Vamos usar novamente: u = e^(- (w)/(2)) -> d u = - (1)/(2) e^(- (w)/(2)) d w e v = - cos w -> d v = sin w d w int e^(- (w)/(2)) sin w d w = - cos w e^(- (w)/(2)) - int - (1)/(2) e^(- (w)/(2)) (- cos w) d w = int e^(- (w)/(2)) sin w d w = - cos w e^(- (w)/(2)) - (1)/(2) int e^(- (w)/(2)) (cos w) d w = Agora substituindo: (1)/(2) int e^(- (w)/(2)) cos w d w = (1)/(2) e^(- (w)/(2)) sin w + (1)/(4) int e^(- (w)/(2)) sin w d w (1)/(2) int e^(- (w)/(2)) cos w d w = (1)/(2) e^(- (w)/(2)) sin w + (1)/(4) [- cos w e^(- (w)/(2)) - (1)/(2) int e^(- (w)/(2)) (cos w) d w] (1)/(2) int e^(- (w)/(2)) cos w d w = (1)/(2) e^(- (w)/(2)) sin w - (1)/(4) cos w e^(- (w)/(2)) - (1)/(8) int e^(- (w)/(2)) (cos w) d w Repare que dos dois lados temos o termos: int e^(- (w)/(2)) cos w d w Então podemos soma-los (1)/(2) int e^(- (w)/(2)) cos w d w + (1)/(8) int e^(- (w)/(2)) (cos w) d w = (1)/(2) e^(- (w)/(2)) sin w - (1)/(4) cos w e^(- (w)/(2)) (4 + 1)/(8) int e^(- (w)/(2)) cos w d w = (1)/(2) e^(- (w)/(2)) sin w - (1)/(4) cos w e^(- (w)/(2)) int e^(- (w)/(2)) cos w d w = (8)/(5) [(1)/(2) e^(- (w)/(2)) sin w - (1)/(4) cos w e^(- (w)/(2))] int e^(- (w)/(2)) cos w d w = (1)/(5) [4 e^(- (w)/(2)) sin w - 2 cos w e^(- (w)/(2))] Voltando pra variável x : int e^(- x) cos 2 x d x = (1)/(2) int e^(- (w)/(2)) cos w d w = (1)/(2) xx (1)/(5) [4 e^(- (w)/(2)) sin w - 2 cos w e^(- (w)/(2))] = = (1)/(5) [2 e^(- x) sin 2 x - cos 2 x e^(- x)] = (1)/(5) e^(- x) [2 sin 2 x - cos 2 x] Não esquecendo da constante: int e^(- x) cos 2 x d x = (1)/(5) e^(- x) [2 sin 2 x - cos 2 x] + k Resposta int e^(- x) cos 2 x d x = (1)/(5) e^(- x) [2 sin 2 x - cos 2 x] + k MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosCalcule a integral.int_0^1 t cosh t d tPrimeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ t 3e - t 2d tCalcule a integral.int_1^2 ((ln x)^2)/(x^3) d xCalcule a integral.int cos x ln ( s e n x ) d xCalcule a integral.int_1^2 x^4 (ln x)^2 d xVer TambémVer Livro Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz GuidorizziVer tudo sobre IntegraisLista de exercícios de Integração por PartesVer exercício 12.3 - 1mVer exercício 12.3 - 4a