43-46 Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.

43- Suponha que uma função f satisfaça

f x + 5 ≤   x + 1

Com qualquer número real x . Então lim x → - 1 ⁡ f ( x ) = - 5 .

Passo 1

Primeiro, vamos lembrar de uma coisa importante:

a ≤ b ↔ - b ≤ a ≤ b

Agora, vamos aplicar essa propriedade com a condição que o enunciado impõe:

f x + 5 ≤ x + 1 ↔ - x + 1 ≤ f x + 5 ≤ x + 1

Temos,

- x + 1 ≤ f x + 5 ≤ x + 1

Passo 2

Como,

lim x → - 1 ⁡ - x + 1 = 0 e lim x → - 1 ⁡ x + 1 = 0

Pelo teorema do confronto:

lim x → - 1 ⁡ f x + 5 = 0

Passo 3

Ahhhh nós ainda não temos o lim x → - 1 ⁡ f x , mas a gente resolve esse problema rapidinho. Vamos abrir esse limite, lembrando que, o limite da soma é a soma dos limites .

lim x → - 1 ⁡ f x + 5 = lim x → - 1 ⁡ f x + lim x → - 1 ⁡ 5 = 0

Assim,

lim x → - 1 ⁡ f x + 5 = 0

lim x → - 1 ⁡ f x = - 5

Chegamos ao fim.... até a próxima questão !

Resposta

Verdadeira.

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