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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 63

Encontre o volume obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados

y = sin ⁡ x ,     y = cos ⁡ x ,     0 ≤ x ≤ π 4 ,     e m   t o r n o   d e   y = 1

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o volume do solido obtido pela rotação da região entre y = sin ⁡ x e y = cos ⁡ x , em torno da reta y = 1 , no intervalo 0 , π 4 .

Pra isso, precisamos lembrar que sendo y = f ( x ) e y = g x duas funções contínuas não negativas em [ a ,   b ] e R a região entre o gráfico de f e g de a até b , então o volume do sólido T , gerado pela revolução de R em torno do eixo y = L   é definido por:

V = π ∫ a b f x - L 2 - g x - L 2 d x

Sacou? Basicamente, o que nós vamos fazer é substituir f x = sin ⁡ x , g x = cos ⁡ x , L = 1 e a ,   b = 0 , π 4 . Depois, vamos calcular a integral para obter o nosso volume de revolução.

Vamos lá!

Passo 2

Substituindo tudo na fórmula do volume, conforme o passo 1 , temos:

V = π ∫ 0 π 4 sin ⁡ x - 1 2 - cos ⁡ x - 1 2 d x

Elevando os termos ao quadrado:

V = π ∫ 0 π 4 sin 2 ⁡ x - 2 sin ⁡ x + 1 - cos 2 ⁡ x + 2 cos ⁡ x - 1 d x

V = π ∫ 0 π 4 2 cos ⁡ x - 2 sin ⁡ x + sin 2 ⁡ x - cos 2 ⁡ x d x

Antes de integrar, precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:

cos 2 ⁡ x - sin 2 ⁡ ( x ) = c o s ⁡ ( 2 x )

Então

sin 2 ⁡ ( x ) - cos 2 ⁡ x = - c o s ⁡ ( 2 x )

Substituindo, ficamos com:

V = π ∫ 0 π 4 2 cos ⁡ x - 2 sin ⁡ x + sin 2 ⁡ x - cos 2 ⁡ x d x

= π ∫ 0 π 4 2 cos ⁡ x - 2 sin ⁡ x - cos ⁡ 2 x d x

Assim, integrando, ficamos com:

V = π 2 sin ⁡ x + 2 cos ⁡ x - 1 2 sin ⁡ 2 x 0 π 4

E aplicando os limites de integração:

= π 2 + 2 - 1 2 - 0 + 2 - 0

Encontramos nosso volume:

V = π 2 2 - 5 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = π 2 2 - 5 2

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