Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas ao redor dos eixos especificados. Esboce a região e a casca típica.

y = x^2 , y = 0 , x = -2 , x = -1 ao redor do eixo y .

Passo 1

Pra começar vamos entender um pouco melhor as condições que ele nos deu:

y = x 2 , y = 0 , x = - 2 , x = - 1

Esboçando um gráfico, temos:

Isso quer dizer que estamos querendo calcular o voluma da região limitada entre os pontos x = - 2 e x = - 1 . Como ele nos pede para rodar em torno do eixo   y , temos:

V = ∫ - 2 - 1 2 π - x f x d x

Esse ( - x ) é porque estamos do lado negativo do eixo x

Logo,

V = - ∫ - 2 - 1 2 π x ⋅ x 2 d x

Isto é,

V = - 2 π ∫ - 2 - 1 x 3 d x

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Passo 2

Integrando, temos:

V = - 2 π x 4 4 - 2 - 1

Assim,

V = - π - 1 4 2 - - π - 2 4 2

Fazendo as contas:

V = - π 2 + 16 π 2 = 15 π 2

Resposta

V = 15 π 2

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