Encontre três números positivos que a soma é 12 e a soma dos seus quadrados é a menos possível.

Passo 1

Oie, vou te ajuda a resolver essa atividade.

Veja que aqui a gente tem uma situação onde:

x + y + z = 12

Isso é, a soma de 3 numeros é 12 ;

E temos mais uma condição:

x 2 + y 2 + z 2 = S

Isso é, temos a soma dos quadrados desses números representada por S . Queremos saber que números são esses para que a soma S seja a menor possível.

Para minimizar a função S , iremos encontrar as derivads parciais de S e zerar elas, para assim encontramos os pontos críticos.

Passo 2

Show! Agora precisamos minimizar a função. Vamos determinar as derivadas parciais:

S x = ∂ S ∂ x

S x = 4 x + 2 y - 24

E

S y = ∂ S ∂ x

S y = 4 y + 2 x - 24

Zerando a primeira equação:

y = 12 - 2 x

E zerando a segunda:

x = 12 - 2 y

Substituindo uma na outra:

y = 12 - 2 12 - 2 y

y = 4

Agora obtendo o x :

x = 12 - 2 y

x = 12 - 2 4

x = 4

E por ultimo, iremos encontrar o z :

z = 12 - x - y

z = 12 - 4 - 4

z = 4

Então a soma função S é:

S = 16 + 16 + 16

S = 48

Resposta

S = 48

x = y = z = 4

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