48- Prove que, se é um polinômio de grau ímpar, então a equação tem, no mínimo, um número real como solução.

Agora, podemos ter dois casos: ou

-Se e , temos:

-Se e , temos:

-Se e , temos:

- Se e , temos :

Você pode estar se perguntando..... Mas como é que esses casos ocorre ?

Então, temos o seguinte limite:

)

Nós sabemos que é ímpar e nesse caso nosso será menor que zero, então, vamos representá-lo por -1. Dessa forma,

)

Bom, nossos denominadores que tem vão tender a zero. Assim,

Como é ímpar, continuamos com o . No entanto, como é negativo, temos:

Entendeu ????

O importante aqui é se é maior ou menor que zero, pois como o é ímpar não interfere no sinal do infinito ao qual o x está tendendo.

Mas onde entra o Teorema do Valor Intermediário ???

Galera, nós sabemos que pelo TVI, que

Se for uma função contínua em , e se e forem diferentes de zero com sinais opostos, então existe, no mínimo, uma solução para a equação no intervalo .

Vocês perceberam o mesmo que eu ????

Tanto para quanto para , nós temos limites que tendem ao infinito com sinais opostos dentro de um intervalo. Isso que dizer que, de acordo com o TVI, temos no mínimo um número real como solução para a equação .