Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 1.5 - Ex. 48
48- Prove que, se é um polinômio de grau ímpar, então a equação tem, no mínimo, um número real como solução.
Passo 1
Seja,
Vamos colocar o em evidência:
Passo 2
Agora, podemos ter dois casos: ou
-Se e , temos:
-Se e , temos:
-Se e , temos:
- Se e , temos :
Passo 3
Você pode estar se perguntando..... Mas como é que esses casos ocorre ?
Então, temos o seguinte limite:
)
Nós sabemos que é ímpar e nesse caso nosso será menor que zero, então, vamos representá-lo por -1. Dessa forma,
)
Bom, nossos denominadores que tem vão tender a zero. Assim,
Como é ímpar, continuamos com o . No entanto, como é negativo, temos:
Entendeu ????
O importante aqui é se é maior ou menor que zero, pois como o é ímpar não interfere no sinal do infinito ao qual o x está tendendo.
Passo 4
Mas onde entra o Teorema do Valor Intermediário ???
Galera, nós sabemos que pelo TVI, que
Se for uma função contínua em , e se e forem diferentes de zero com sinais opostos, então existe, no mínimo, uma solução para a equação no intervalo .
Vocês perceberam o mesmo que eu ????
Tanto para quanto para , nós temos limites que tendem ao infinito com sinais opostos dentro de um intervalo. Isso que dizer que, de acordo com o TVI, temos no mínimo um número real como solução para a equação .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)