48.Seja

f x = x 2 + 1             s e   x < 1 x - 2 2       s e   x ≥ 1

  1. Encontre lim x → 1 - ⁡ f ( x ) e lim x → 1 + ⁡ f ( x ) .
  2. lim x → 1 ⁡ f ( x ) existe?
  3. Esboce o gráfico de f .

Passo 1

Olá, meu querido colega. Vamos a resolução de mais uma atividade?

Aqui a gente tem uma função composta por duas equações, cada uma para um intervalo e a partir disso iremos calcular seus limites laterais, iremos decidir se o limite da função existe nesse ponto, como também iremos esboçar o gráfico da função.

Para calcularmos os limites laterais, devemos nos aproximar de 1 , hora por valores infinitesimalmente maiores que 1 , hora por valores infinitesimalmente menores que 1 .

Casos esses limites laterais sejam iguais, teremos então que o limite existe, caso não seja, nosso limite não existe.

Passo 2

Para o item (a), temos o seguinte:

lim x → 1 - ⁡ f ( x )

Como estamos vindo da esquerda, estamos no caso em que iremos nos aproximar de 1 por valores x < 1 . Logo, iremos escolher:

f x = x 2 + 1

Assim,

lim x → 1 - ⁡ f x =   lim x → 1 - ⁡ x 2 + 1

Como não temos nenhuma indeterminação, podemos substituir:

lim x → 1 - ⁡ f x =   1 2 + 1 = 2

Agora vamos analisar o seguinte caso:

lim x → 1 + ⁡ f ( x )

Dessa vez estamos vindo da direita, isto é, iremos nos aproximar por valores x ≥ 1 . Logo,

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ x - 2 2

Novamente, podemos substituir o valor para o cálculo do limite por não termos nenhuma indeterminação:

lim x → 1 + ⁡ f x = 1 - 2 2 = 1

Passo 3

(b) Para existir lim x → 1 ⁡ f ( x ) , os limites laterais precisam ser iguais. Como os limites laterais são diferentes, lim x → 1 ⁡ f ( x ) não existe!

lim x → 1 - ⁡ f x =   2

lim x → 1 + ⁡ f x = 1

Passo 4

  1. Agora é só esboçarmos o gráfico

x < 1 :

f x = x 2 + 1

x ≥ 1 :

f x = ( x - 2 ) 2

Veja que no gráfico o ponto 1 , onde a gente tem a mudança de qual equação é definida. O ponto fechado indica que no ponto 1 a função é definida por:

f x = ( x - 2 ) 2

Já o ponto aberto diz que a função não é definida naquele ponto.

Resposta

  1. lim x → 1 - ⁡ f x =   2

    lim x → 1 + ⁡ f x = 1

  2. Não existe.

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