Prove: lim x → p ⁡ f x = L ⇒ lim x → p ⁡ f x = L (Sugestão: verifique que f x - L ≤ f x - L e aplique o teorema do confronto.)

Enunciado

Pessoal, vamos lembrar de uma propriedade de módulo que nos diz que, se e são reais quaisquer, então:

Sendo assim, verificamos que:

conforme a sugestão do enunciado.

Agora, vamos tentar aplicar o teorema do confronto, sabendo que:

Tomamos os limites:

Mas o limite do módulo é o módulo do limite:

E o limite da soma é a soma dos limites:

Temos como hipótese que:

Então, isso implica:

Desse modo,

Isso implica, pelo teorema do confronto:

Logo, provamos a implicação:

Ei, a resposta está no passo a passo :)