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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.6 - Ex. 18

Calcule a integral indefinida.

int (d x)/(( x^2 + 1 ) ( x^2 + 4 ))

Passo 1

Aqui a gente tem uma fatoração com termos quadráticos irredutíveis.

Nesse caso, pra aplicar frações parciais, a gente pode fazer:

(1)/((x^2 + 1) (x^2 + 4)) = (A x + B)/(x^2 + 1) + (C x + D)/(x^2 + 4)

Aí daqui a gente tem que descobrir os valores de A , B C e D .

Passo 2

Vamos fazer as continhas pra igualar:

(1)/((x^2 + 1) (x^2 + 4)) = (( x^2 + 4 ) ( A x + B ))/(x^2 + 1) + (( x^2 + 1 ) ( C x + D ))/(x^2 + 4)

Agora a gente pode eliminar os denominadores...

1 = (x^2 + 4) (A x + B) + ( x^2 + 1 ) ( C x + D )

1 = A x^3 + B x^2 + 4 A x + 4 B + C x^3 + D x^2 + C x + D

1 = x^3 (A + C) + x^2 (B + D) + x (4 A + C) + 4 B + D

Pra isso ser verdadeiro, a gente precisa que:

A + C = 0

B + D = 0

4 A + C = 0

4 B + D = 1

Aí a gente acha que:

A = 0 ; B = (1)/(3) ; C = 0 ; D = - (1)/(3)

Passo 3

Beleza, agora a gente reescreve:

(1)/((x^2 + 1) (x^2 + 4)) = (1)/(3 ( x^2 + 1 )) - (1)/(3 ( x^2 + 4 ))

Ótimo! Agora é só a gente voltar isso pra integral:

int (d x)/(( x^2 + 1 ) ( x^2 + 4 )) = int (1)/(3 ( x^2 + 1 )) - (1)/(3 ( x^2 + 4 )) d x

= (1)/(3) [int (1)/(x^2 + 1) d x - int (1)/(x^2 + 4) d x]

Pelas integrais que a gente conhece, a gente sabe que vai ser:

(1)/(3) (a r c t g x - (1)/(2) a r c t g ((x)/(2))) + C

Prontinho! Essa é a integral😉

Resposta

(1)/(3) (a r c t g x - (1)/(2) a r c t g ((x)/(2))) + C

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