Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 51
51. Uma massa atada a uma mola vertical tem função posição dada por onde é a amplitude e , é uma constante.
(a) Encontre a velocidade e aceleração como função do tempo.
(b) Mostre que a aceleração é proporcional ao deslocamento de .
(c) Mostre que a velocidade é máxima quando a aceleração é 0.
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
Nesse problema foi dada uma massa em uma mola cuja posição é definida pela função
Em que é a amplitude do movimento e é a frequência do movimento.
A partir daí temos que obter as funções velocidade e aceleração dessa massa, mostrar que a aceleração é proporcional ao movimento e que a velocidade máxima acontece quando a aceleração é nula.
Parece complicado?
A partir dos princípios físicos, a gente sabe que a derivada do espaço em relação ao tempo é a velocidade, ou seja
e a derivada da velocidade em relação ao tempo é a aceleração.
A partir dessas relações podemos encontrar as funções velocidade e aceleração derivando .
Para isso, vamos que é uma função composta pois no argumento de tem uma função , assim, para calcular sua derivada temos que aplicar a regra da cadeia...
Sem mais delongas... bora começar!
Passo 2
Primeiro vamos calcular a função velocidade.
Como vimos no passo 1, a velocidade é a derivada da posição, ou seja
Usando regra da cadeia:
Voltando para
Derivando mais uma vez, para obtermos a aceleração:
Usando a regra da cadeia novamente:
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Para uma função ser proporcional à outra quer dizer que se divididirmos uma pela outra vamos ter uma constante:
Então para descobrir de a aceleração é proporcional à posição fazemos
Se e .
Portanto a aceleração é proporcional ao deslocamento pois é uma constante.
Show?
Passo 4
Por ultimo, temos que mostrar que a velocidade máxima acontece quando .
A função velocidade é dada por:
então como é constante, para termos a velocidade ser máxima aquele cosseno deve ser igual a ou :
Para isso acontecer deva valer:
E quando isso acontece o seno desse ângulo vai para zero,
então
Ou seja, quando a velocidade é máxima a aceleração vai para 0
É isso! O que achou? Responde Aí!
Resposta
(a) e