Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 56
51-60 Dê um gráfico do polinômio e identifique as coordenadas dos cortes com os eixos, dos pontos estacionários e dos pontos de inflexão. Confira as respostas com um recurso gráfico.
56-
Passo 1
Galera, vamos começar derivando a função:
Agora, vamos derivar novamente:
Fácil, né ?!
Passo 2
Igualando a primeira derivada a zero, temos:
E
Para :
Para :
Para
, e são nossos pontos estacionários.
O próximo passo é saber se , ou . Isso que vai determinar qual tipo de extremos relativo nós encontramos.
Passo 3
Para :
Como , o ponto é um máximo.
Para :
Como , o ponto é um mínimo.
Para :
Como , o ponto é um mínimo.
Vamos ver se temos algum ponto de inflexão... Para isso nós temos que fazer um estudo de sinais com a função . Então vamos lá!
Agora, vamos ver como a função se comporta antes e depois do , faremos o mesmo para . Ok?
Para isso vamos testar um valor de e outro valor de . Ok ???
Para :
Para :
Como tem sinais diferentes antes e depois do , para , temos um ponto de inflexão.
Para
O ponto é um ponto de inflexão.
Bom... Também temos quer ver como a função se comporta antes e depois do . Para isso vamos testar um valor de e outro valor de . Ok ???
Para :
Para :
Como tem sinais diferentes antes e depois do , para , temos um ponto de inflexão.
Para
O ponto é um ponto de inflexão.
Passo 4
Por último, temos que ver os cortes com os eixos.
- Eixo :
Agora, podemos usar Briot Ruffini para acharmos as outras raízes:
Como temos um polinômio de grau 4, esperamos encontrar 4 raízes, dessa forma, vamos usar o Briot Ruffini de novo:
Os cortes com eixo são nos pontos:
- Eixo :
Os cortes com eixo são nos pontos:
Assim, nós temos o seguinte gráfico:
Resposta
, e são nossos pontos estacionários.
são pontos de inflexão.
Cortes nos eixos: