Encontre os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado:

f(x) = x^3 - 3x + 1, [0, 3]

Passo 1

Opa! O enunciado dá pra a gente a seguinte função:

f x = x 3 - 3 x + 1 ,     [ 0,3 ]

E pede os valores de máximo e mínimo absoluto de f no intervalo dado.

Primeiro precisamos encontrar os valores críticos são os pontos onde a derivada da função é zero ou é indefinida. Em outras palavras, são os pontos onde a inclinação da curva muda, o que pode indicar a presença de máximos ou mínimos locais.

- Ao encontrar os valores críticos, estamos identificando os pontos onde a taxa de variação da função muda, sugerindo possíveis pontos de inflexão onde a curva passa de crescente para decrescente (ou vice-versa).

- No caso de funções cúbicas como (   f x =   x 3 –   3 x   +   1   ) , a derivada f ' x é uma função quadrática. Resolvendo f ' x =   0   , encontramos os pontos onde a taxa de variação da função muda, ou seja, os pontos críticos.

Logo após precisamos determinar os valores de máximos e mínimos

- Uma vez que identificamos os valores críticos e os extremos do intervalo, comparamos todos esses valores para determinar os máximos e mínimos absolutos.

- Em um intervalo fechado e limitado como [ 0,3 ] os extremos do intervalo são os primeiros candidatos a máximos e mínimos absolutos.

- Os valores críticos também são pontos importantes a serem considerados, pois podem indicar a presença de máximos ou mínimos locais.

- Comparando os valores nos extremos do intervalo e nos valores críticos, podemos determinar quais são os máximos e mínimos absolutos no intervalo dado.

Passo 2

Primeiramente, necessitamos calcular a derivada de f e iguala-la a zero para encontrar os números críticos:

f ' x = 3 x 2 - 3

Igualando a zero:

3 x 2 - 3 = 0

x 2 = 1

x = ± 1  

Passo 3

Então, aplicando o método do intervalo fechado, precisamos calcular f 0 ,   f ( 1 ) ,   f ( 2 ) e f ( 3 ) . Note que f ( - 1 ) não será calculado porque x = - 1 não está dentro do intervalo dado. Então, ficamos com

f 0 = 1

f 1 = - 1

f 2 = 3

f 3 = 19

Com isso, podemos perceber que f 3 = 19 é um ponto de máximo absoluto e f 1 = - 1 é um ponto de mínimo absoluto.

Resposta

f 3 = 19 é um ponto de máximo absoluto e f 1 = - 1 é um ponto de mínimo absoluto.

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