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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 19

5-20. Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função usando um ponto de vista e domínio convenientes para mostrar os aspectos importantes da função.

19. f x ,   y = y 2 - 2 y ⋅ cos ⁡ x ,   - 1 ≤ x ≤ 7

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

f x ,   y = y 2 - 2 y ⋅ cos ⁡ x

Queremos determinar os valores de máximos e mínimos locais.

Para isso, precisamos fazer as derivadas parciais com relação à x e y e igualar os seus resultados a zero para encontrarmos os pontos críticos.

Em seguida, iremos fazer as segundas derivadas parciais f x x ,   f x y ,   f y y e aplicar na seguinte expressão (chamada de teste da segunda derivada):

D x , y = f x x ⋅ f y y - f x y x , y 2

Com isso, a gente analisa as seguintes proposições:

  • Se D > 0 e f x x x , y > 0 , então f x , y é um mínimo local;
  • Se D > 0 e f x x x , y < 0 , então f x , y é um máximo local;
  • Se D < 0 , não é nem máximo e nem mínimo local.

Em relação ao gráfico, iremos utilizar o GeoGebra para plotarmos o gráfico dessa função.

Passo 2

Para começarmos a análise dos máximos e mínimos da função, vamos primeiramente encontrar as derivadas parciais da mesma, se liga:

f x ,   y = y 2 - 2 y ⋅ cos ⁡ x

Derivando em relação a x :

f x = 2 y ⋅ s e n   x

E agora a gente deriva em relação a y :

f y = 2 y - 2 ⋅ cos ⁡ x

Encontrando as derivadas de segunda ordem, teremos:

f x x = 2 y ⋅ cos ⁡ x

f y y = 2

Agora vamos atras dos pontos críticos:

Para f x = 0 :

0 = 2 y ⋅ s e n   x

o que tem que acontecer é que y = 0 ou sin ⁡ x = 0 , não é mesmo?

Para a nossa restrição, que é

- 1 ≤ x ≤ 7

para sin ⁡ x = 0 então x = 0 ,   x = π   o u   x = 2 π .

Para f y = 0 , o que tem que acontecer é que y = cos ⁡ x .

Sendo assim, para y = 0 , então x = π 2 ou   x = 3 π 2 .

Passo 3

Agora que encontramos algumas condições, vamos testa-las, tudo bem?

Se

sin ⁡ x = 0

então isso implica que

cos ⁡ x = ± 1

ou seja,

y = ± 1

também! Para cos ⁡ x = ± 1 então x = 2 k π , logo os pontos críticos serão:

π 2 ,   0 ,   2 π ,   1 ,   π ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   3 π 2 ,   0

Agora o que temos que fazer é testar esses pontos em D , que é dado da seguinte forma:

D x ,   y = f x x ⋅ f y y - f x y x ,   y 2

Mas quem é f x y ? Como já calculamos f x , então f x y será:

f x y = 2 ⋅ s e n   x

Analisando D x , y :

D x , y = f x x ⋅ f y y - f x y x , y 2

D x ,   y = 4 y ⋅ cos ⁡ x - 2 ⋅ s e n   x 2

Passo 4

Se testarmos os pontos críticos em D , teremos:

D π 2 ,   0 = D 3 π 2 ,   0 = 0 - 4 = - 4 < 0

O resultado implica em pontos de sela.

D 0 ,   1 = D π ,   - 1 = D 2 π ,   1 = 4 > 0

Ademais, temos que:

f x x = 2 > 0

O resultado implica em mínimos locais.

Logo, os pontos são ( 0 ,   1 ) e 2 π ,   1 . E esses são os nossos pontos de máximos e mínimos locais!

Resposta

Pontos críticos:   π 2 ,   0 ,   2 π ,   1 ,   π ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   3 π 2 ,   0

Pontos de sela: π 2 ,   0 ,   3 π 2 ,   0

Pontos de mínimo: π ,   - 1 ,   0 ,   1 ,   2 π ,   1

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