Seja f x , y definida e de classe C 2 no aberto A de R 2 . Suponha que, para todo x , y ∈ A , ∂ 2 f ∂ x 2 x , y + ∂ 2 f ∂ y 2 x , y + 2 ∂ f ∂ x x , y + 3 ∂ f ∂ y ( x , y )0 Prove que f não admite ponto de máximo local.

Enunciado

A questão pede para mostrar que uma função que satisfaça a condição dada não admite ponto de máximo local. A relação que satisfaz para todo ponto é

Vamos supor que é um ponto crítico (candidato a máximo local). Neste caso:

Assim, a condição é traduzida para

Nesse ponto crítico, o hessiano é dado por

Se estamos olhando para um possível máximo local, temos que

Mas como

teríamos que ter

Neste caso,

Assim, seria ponto de sela. Vemos então que as condições

são incompatíveis entre si. De modo que se as duas primeiras forem satisfeitas, teremos necessariamente que

Por outro, se impusermos que as duas últimas são satisfeitas, teremos

Assim, uma função que satisfaça a relação dada no enunciado não admite máximo local.

Demonstração.