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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 18

Seja f x , y definida e de classe C 2 no aberto A de R 2 . Suponha que, para todo x , y ∈ A ,

∂ 2 f ∂ x 2 x , y + ∂ 2 f ∂ y 2 x , y + 2 ∂ f ∂ x x , y + 3 ∂ f ∂ y ( x , y ) > 0

Prove que f não admite ponto de máximo local.

Passo 1

A questão pede para mostrar que uma função que satisfaça a condição dada não admite ponto de máximo local. A relação que f satisfaz para todo ponto é

∂ 2 f ∂ x 2 x , y + ∂ 2 f ∂ y 2 x , y + 2 ∂ f ∂ x x , y + 3 ∂ f ∂ y ( x , y ) > 0

Vamos supor que ( a , b ) é um ponto crítico (candidato a máximo local). Neste caso:

∂ f ∂ x a , b = ∂ f ∂ y a , b = 0

Assim, a condição é traduzida para

∂ 2 f ∂ x 2 a , b + ∂ 2 f ∂ y 2 a , b > 0

Passo 2

Nesse ponto crítico, o hessiano é dado por

H a , b = ∂ 2 f ∂ x 2 a , b ⋅ ∂ 2 f ∂ y 2 a , b - ∂ 2 f ∂ x   ∂ y a , b 2

Se estamos olhando para um possível máximo local, temos que

∂ 2 f ∂ x 2 a , b < 0

Mas como

∂ 2 f ∂ x 2 a , b + ∂ 2 f ∂ y 2 a , b > 0

teríamos que ter

∂ 2 f ∂ y 2 a , b > 0

Neste caso,

∂ 2 f ∂ x 2 a , b ⋅ ∂ 2 f ∂ y 2 a , b < 0 ⇒ H a , b < 0

Assim, ( a , b ) seria ponto de sela. Vemos então que as condições

∂ 2 f ∂ x 2 a , b + ∂ 2 f ∂ y 2 a , b > 0 ,       ∂ 2 f ∂ x 2 a , b < 0         e       H a , b > 0

são incompatíveis entre si. De modo que se as duas primeiras forem satisfeitas, teremos necessariamente que

H a , b < 0

Por outro, se impusermos que as duas últimas são satisfeitas, teremos

∂ 2 f ∂ x 2 a , b + ∂ 2 f ∂ y 2 a , b < 0

Assim, uma função que satisfaça a relação dada no enunciado não admite máximo local.

Resposta

Demonstração.

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