Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 14

Considere a função f x , y = 1 - x 2 - y 2 , x ≥ 0 e y ≥ 0 . Determine o plano tangente ao gráfico de f que forma com os planos coordenados tetraedro de volume mínimo.

Passo 1

Queremos achar o plano tangente ao gráfico de f que forma com os planos coordenados o tetraedro de volume mínimo. Para isso, vamos achar a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto ( a , b ) :

z = f a , b + ∂ f ∂ x a , b   x - a + ∂ f ∂ y a , b   ( y - b )

Temos que

∂ f ∂ x = - 2 x           e           ∂ f ∂ y = - 2 y

Assim,

z = 1 - a 2 - b 2 - 2 a   x - a - 2 b ( y - b )

Logo,

z = 1 - a 2 - b 2 - 2 a x + 2 a 2 - 2 b y + 2 b 2

Portanto,

z = - 2 a x - 2 b y + a 2 + b 2 + 1

Passo 2

O volume do tetraedro formado no primeiro octante pela intersecção de um plano com os planos coordenados é dado por

V = 1 6 x 0 y 0 z 0 ,

Onde x 0 , y 0 e z 0 são os pontos em que o plano corta o eixo.

Para achar x 0 , fazemos y = z = 0 :

0 = - 2 a x 0 + a 2 + b 2 + 1 ⇒ x 0 = 1 + a 2 + b 2 2 a

Analogamente para achar y 0 :

y 0 = 1 + a 2 + b 2 2 b

Já para achar z 0 , fazemos x = y = 0 :

z 0 = 1 + a 2 + b 2

Assim, o volume será dado por

V a , b = 1 + a 2 + b 2 24 a b ⇒ g a , b = 24   V a , b = 1 + a 2 + b 2 3 a b

Temos que minimizar essa função!

Passo 3

Derivando:

∂ g ∂ a = 3 1 + a 2 + b 2 2 ⋅ 2 a ⋅ a b - 1 + a 2 + b 2 3 ⋅ b a 2 b 2 = 1 + a 2 + b 2 2 5 a 2 - 1 - b 2 a 2 b

∂ g ∂ b = 3 1 + a 2 + b 2 2 ⋅ 2 b ⋅ a b - 1 + a 2 + b 2 3 ⋅ a a 2 b 2 = 1 + a 2 + b 2 2 5 b 2 - 1 - a 2 a b 2

Igualando as derivadas a zero:

5 a 2 - b 2 = 1 - a 2 + 5 b 2 = 1

Multiplicando a primeira equação por 5 e somando com a segunda:

25 a 2 - 5 b 2 - a 2 + 5 b 2 = 5 + 1

Logo,

24 a 2 = 6 ⇒ a 2 = 1 4 ⇒ a = ± 1 2

Como x ≥ 0 , temos que

a = 1 2

Assim,

5 4 - b 2 = 1 ⇒ b 2 = 1 4 ⇒ b = 1 2

Esse é o único ponto crítico de g . Pela natureza do problema, esse ponto tem que ser de mínimo pois a natureza física do problema exige que ele tenha solução.

Assim, a equação do plano será

z = - 2 ⋅ 1 2 x - 2 ⋅ 1 2 y + 1 4 + 1 4 + 1

Logo,

z = - x - y + 3 2

Ou ainda,

x + y + z = 3 2

Resposta

x + y + z = 3 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja f ( x , y ) de classeC 2 e seja ( x 0 ,y 0 , z 0 ) ponto no interior D f . Suponha que ( x 0 , y 0 , z 0 ) ponto crítico de f . Prove: ∂ 2 f ∂ x 2 x 0 , y 0 , z 0 ≤ 0 ,∂ 2 f ∂ y 2 x 0 , y 0 , z 0
Estude com relação máximos e mínimos locais da função f x , y = g) x 2 + 2 x y + 4 y 2 - 6 x - 12 y 3
Determine o ponto do plano 3 x + 2 y + z = 12 cuja soma dos quadrados das distâncias a 0,0 , 0 e ( 1,1 , 1 ) seja mínima.
Seja f x , y = x 2 ( y 4 - x 2 ) e considere, para cada v → = h , k , a função g v → t = f h t , k t . Verifique que t = 0 é ponto de máximo local de g v → mas que 0,0 não é ponto de máximo local de f
Seja f x , y definida e de classe C 2 no aberto A de R 2 . Suponha que, para todo x , y ∈ A , ∂ 2 f ∂ x 2 x , y + ∂ 2 f ∂ y 2 x , y + 2 ∂ f ∂ x x , y + 3 ∂ f ∂ y ( x , y )0 Prove que f não admite pont