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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 2

Seja f x , y = a x 2 + b y 2 + c x y + d x + e y + l , onde a ,   b ,   c ,   d ,   e e l são constantes. Prove que se ( x 0 , y 0 ) for extremante local de f , então será extremante global.

Passo 1

Bom, queremos mostrar que se um ponto ( x 0 , y 0 ) for extremante local de f , então ele será extremante global. A forma como o enunciado de f não é a melhor forma de se trabalhar com polinômios.

A função f é que o chamamos de forma quadrática mais geral possível. Em cursos de geometria analítica, você aprende que sempre é possível redefinir o seu sistema de coordenadas de modo a escrever a forma quadrática como

f x ' , y ' = a ' x ' - x 0 2 + b ' y ' - y 0 2 + c '

A demonstração disso envolve um pouquinho de álgebra linear (diagonalização de matriz, bla bla bla...), por isso vou te poupar disso, mas acredite em mim, sempre é possível fazer.

Para não ficar escrevendo esse monte de variáveis com ' , vou omitir ela e escrever:

f x , y = a x - x 0 2 + b y - y 0 2 + c

Mas tenha em mente que essas coordenadas e constantes não são as mesmas do enunciado hein!

Passo 2

Note que

∂ f ∂ x = 2 a x - x 0           e         ∂ f ∂ y = 2 b ( y - y 0 )

Assim, f tem apenas um ponto crítico exatamente em ( x 0 , y 0 ) .

O enunciado deu uma sugestão bem legal: se definimos uma função

g t = f x 0 + h t , y 0 + k t ,

com h e k constante, temos que

g ( t ) = a h 2 t 2 + b k 2 t 2 + c = A t 2 + c ,

onde A = a h 2 + b k 2 . Note que o que estamos fazendo é ver como f varia quando percorremos o plano ( x , y ) por uma reta cuja direção é dada por ( h , k ) . Assim, conforme mudamos a direção, h e k mudam, logo A muda, porém o tipo de função é sempre o mesmo: uma parábola!

Sabemos que as parábolas têm apenas um ponto crítico (extremo local) e que ele sempre será extremo global. Neste caso, a parábola g t = A t 2 + c tem sempre um extremo local (e global) em t = 0 , o que equivale dizer que a função f tem um extremo local (e global) em ( x 0 , y 0 ) .

Provamos assim que para um o polinômio de segundo grau em duas variáveis, se ( x 0 , y 0 ) for um extremo local, ele também será global!

Resposta

Demonstração.

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