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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 68

68. Se y = f u e u = g x , onde f e g possuem derivadas terceiras encontre uma fórmula para d 3 y d x 3 similar à dada no Exercicio 67.

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dito que y = f u e u = g x em que f   e g possuem derivadas de terceira ordem.

A partir daí temos que encontrar uma formula para d 3 y d x 3 .

Parece complicado?

Bom... a primeira coisa que temos que entender antes de resolver o problema é que y está em função de u e u está em função de x . Assim, y x será uma função composta

y = f u ,     u = g x → y = f g x

Portando, para calcular sua derivada vamos aplicar a regra da cadeia pois y é uma função composta para x .

A regra da cadeia é definida por

f x = g h x ,     f ' x = h ' x · h ' g x

Ou tambem podemos escrever a regra da cadeia como

d f d x = d f d u · d u d x

Esse segundo pode ser mais fácil de visualizar como vamos resolver o problema...

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de primeira ordem de y em função de x .

Aplicando a regra da cadeia como vimos em d f d x substituímos f por y

d y d x = d y d u · d u d x

Para calcular a derivada de segunda ordem, vamos aplicar a regra do produto

f x = g x · h x ,     f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

Ou seja

d 2 y d x 2 = d d y d u · d u d x d x = d d y d u d x · d u d x + d y d u · d d u d x d x

Porem, d y d u é uma função composta, então temos que aplicar a regra da cadeia nesse termo

d d y d u d x = d 2 y d u 2 · d u d x

Aplicando à equação, temos

d 2 y d x 2 = d 2 y d u 2 · d u d x · d u d x + d y d u · d 2 u d x 2

d 2 y d x 2 = d 2 y d u 2 · d u d x 2 + d y d u · d 2 u d x 2

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Perceba que encontramos o resultado da questão anterior no passo 2, exatamente como planejado...

Agora é so derivar mais uma vez.

d 3 y d x 3 = d d 2 y d u 2 · d u d x 2 + d y d u · d 2 u d x 2 d x

d 3 y d x 3 = d d 2 y d u 2 · d u d x 2 d x + d d y d u · d 2 u d x 2 d x

Vamos aplicar a regra do produto nas duas parcelar

d 3 y d x 3 = d d 2 y d u 2 d x · d u d x 2 + d 2 y d u 2 · d d u d x 2 d x + d d y d u d x · d 2 u d x 2 + d y d u · d d 2 u d x 2 d x

Como vimos anteriormente d 2 y d u 2 é uma função composta, então precisamos aplicar a regra da cadeia nesse termo

d d 2 y d u 2 d x = d 3 y d u 3 · d u d x

d d y d u d x = d 2 y d u 2 · d u d x

Além disso, o termo d u d x está elevado ao quadrado, então vamos aplicar a regra da cadeia nele tambem

d d u d x 2 d x = 2 · d u d x · d 2 u d x 2

Substituindo tudo isso em d 3 y d x 3 , temos

d 3 y d x 3 = d d 2 y d u 2 d x · d u d x 2 + d 2 y d u 2 · d d u d x 2 d x + d d y d u d x · d 2 u d x 2 + d y d u · d d 2 u d x 2 d x

d 3 y d x 3 = d 3 y d u 3 · d u d x · d u d x 2 + d 2 y d u 2 · 2 · d u d x · d 2 u d x 2 + d 2 y d u 2 · d u d x · d 2 u d x 2 + d y d u · d 3 u d x 3

Agora é só organizar a equação...

d 3 y d x 3 = d 3 y d u 3 · d u d x 3 + 2 · d u d x · d 2 u d x 2 · d 2 y d u 2 + d u d x · d 2 u d x 2 · d 2 y d u 2 + d y d u · d 3 u d x 3

d 3 y d x 3 = d 3 y d u 3 · d u d x 3 + 3 · d u d x · d 2 u d x 2 · d 2 y d u 2 + d y d u · d 3 u d x 3

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

d 3 y d x 3 = d 3 y d u 3 · d u d x 3 + 3 · d u d x · d 2 u d x 2 · d 2 y d u 2 + d y d u · d 3 u d x 3

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