5. y = 1 / (x - 1); n = 4

Passo 1

Primeiro, a ordem de uma derivada é o número de vezes que uma equação será derivada.

Passo 2

Podemos aplicar a derivada do quociente

y = u v ⟹ y ' = u ' v - u v ' v 2

Passo 3

Para

y = 1 x - 1

Temos que u = 1 e v = x - 1

Vamos fazer por partes

Primeiro vamos calcular u '

u = 1

u ' = 0

Segundo v '

v = x - 1

v ' = 1 ∙ x 0 - 0

v ' = 1

Terceiro v 2

v = x - 1

v 2 = x - 1 2

Passo 4

Agora vamos aplicar em y '

y ' = 0 ∙ x - 1 - 1 ∙ 1 x - 1 2

Realizando as multiplicações

y ' = - 1 x - 1 2

Passo 5

Agora para realizar a segunda derivada, vamos separar em duas partes, u   e v .

Para

y ' = - 1 x - 1 2

Temos que u = - 1 e v = x - 1 2

Vamos fazer por partes

Primeiro vamos calcular u '

u = - 1

u ' = 0

Segundo v '

v = x - 1 2

Aqui temos uma regra da cadeia,

v = f g x

É feita a derivada da de fora aplicada na de detro vezes a derivada da de dentro.

v ' = f ' g x ∙ g ' x

v ' = 2 ∙ x - 1 ∙ 1

v ' = 2 ∙ x - 1

Terceiro v 2

v = x - 1 2

v 2 = x - 1 4

Passo 6

Agora vamos aplicar na fórmula y ' do quociente

y ( 2 ) = 0 ∙ x - 1 2 + 1 ∙ 2 ∙ x - 1 x - 1 4

Realizando as multiplicações

y ( 2 ) = 2 ∙ x - 1 x - 1 4

Colocando x - 1 em evidência

y ( 2 ) = 2 ∙ x - 1 x - 1 3 ∙ x - 1

E simplificando

y ( 2 ) = 2 x - 1 3

Passo 7

Agora para realizar a terceira derivada, vamos separar em duas partes, u   e v .

Para

y ( 2 ) = 2 x - 1 3

Temos que u = 2 e v = x - 1 3

Vamos fazer por partes

Primeiro vamos calcular u '

u = 2

u ' = 0

Segundo v '

v = x - 1 3

Aqui temos uma regra da cadeia,

v = f g x

É feita a derivada da de fora aplicada na de detro vezes a derivada da de dentro.

v ' = f ' g x ∙ g ' x

v ' = 3 ∙ x - 1 2 ∙ 1

v ' = 3 ∙ x - 1 2

Terceiro v 2

v = x - 1 3

v 2 = x - 1 6

Passo 8

Agora vamos aplicar na fórmula y ' do quociente

y ( 3 ) = 0 ∙ x - 1 3 + 2 ∙ 3 ∙ x - 1 2 x - 1 6

Realizando as multiplicações

y ( 3 ) = 6 ∙ x - 1 2 x - 1 6

Colocando x - 1 2 em evidência

y ( 3 ) = 6 ∙ x - 1 2 x - 1 4 ∙ x - 1 2

E simplificando

y ( 3 ) = 6 x - 1 4

Passo 9

Agora para realizar a terceira derivada, vamos separar em duas partes, u   e v .

Para

y ( 3 ) = 6 x - 1 4

Temos que u = 6 e v = x - 1 4

Vamos fazer por partes

Primeiro vamos calcular u '

u = 6

u ' = 0

Segundo v '

v = x - 1 4

Aqui temos uma regra da cadeia,

v = f g x

É feita a derivada da de fora aplicada na de detro vezes a derivada da de dentro.

v ' = f ' g x ∙ g ' x

v ' = 4 ∙ x - 1 3 ∙ 1

v ' = 4 ∙ x - 1 3

Terceiro v 2

v = x - 1 4

v 2 = x - 1 8

Passo 10

Agora vamos aplicar na fórmula y ' do quociente

y ( 4 ) = 0 ∙ x - 1 4 + 6 ∙ 4 ∙ x - 1 3 x - 1 8

Realizando as multiplicações

y ( 4 ) = 24 ∙ x - 1 3 x - 1 8

Colocando x - 1 3 em evidência

y ( 4 ) = 24 ∙ x - 1 3 x - 1 5 ∙ x - 1 3

E simplificando

y ( 4 ) = 24 x - 1 5

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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