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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.21 - Ex. 5

5. y = (1)/(x - 1) ; n = 4

Passo 1

Primeiro, a ordem de uma derivada é o número de vezes que uma equação será derivada.

Passo 2

Podemos aplicar a derivada do quociente

y = (u)/(v) ⟹ y^' = (u^' v - u v^')/(v^2)

Passo 3

Para

y = (1)/(x - 1)

Temos que u = 1 e v = x - 1

Vamos fazer por partes

Primeiro vamos calcular u '

u = 1

u^' = 0

Segundo v '

v = x - 1

v^' = 1 * x^0 - 0

v ' = 1

Terceiro v^2

v = x - 1

v^2 = (x - 1)^2

Passo 4

Agora vamos aplicar em y '

y^' = (0 * (x - 1) - 1 * 1)/((x - 1)^2)

Realizando as multiplicações

y^' = (- 1)/((x - 1)^2)

Passo 5

Agora para realizar a segunda derivada, vamos separar em duas partes, u e v .

Para

y^' = (- 1)/((x - 1)^2)

Temos que u = - 1 e v = (x - 1)^2

Vamos fazer por partes

Primeiro vamos calcular u '

u = - 1

u^' = 0

Segundo v '

v = (x - 1)^2

Aqui temos uma regra da cadeia,

v = f (g (x))

É feita a derivada da de fora aplicada na de detro vezes a derivada da de dentro.

v^' = f ' (g (x)) * g ' (x)

v^' = 2 * (x - 1) * 1

v^' = 2 * (x - 1)

Terceiro v^2

v = (x - 1)^2

v^2 = (x - 1)^4

Passo 6

Agora vamos aplicar na fórmula y ' do quociente

y^(( 2 )) = (0 * (x - 1)^2 + 1 * 2 * (x - 1))/((x - 1)^4)

Realizando as multiplicações

y^(( 2 )) = (2 * (x - 1))/((x - 1)^4)

Colocando (x - 1) em evidência

y^(( 2 )) = (2 * (x - 1))/((x - 1)^3 * (x - 1))

E simplificando

y^(( 2 )) = (2)/((x - 1)^3)

Passo 7

Agora para realizar a terceira derivada, vamos separar em duas partes, u e v .

Para

y^(( 2 )) = (2)/((x - 1)^3)

Temos que u = 2 e v = (x - 1)^3

Vamos fazer por partes

Primeiro vamos calcular u '

u = 2

u^' = 0

Segundo v '

v = (x - 1)^3

Aqui temos uma regra da cadeia,

v = f (g (x))

É feita a derivada da de fora aplicada na de detro vezes a derivada da de dentro.

v^' = f ' (g (x)) * g ' (x)

v^' = 3 * (x - 1)^2 * 1

v^' = 3 * (x - 1)^2

Terceiro v^2

v = (x - 1)^3

v^2 = (x - 1)^6

Passo 8

Agora vamos aplicar na fórmula y ' do quociente

y^(( 3 )) = (0 * (x - 1)^3 + 2 * 3 * (x - 1)^2)/((x - 1)^6)

Realizando as multiplicações

y^(( 3 )) = (6 * (x - 1)^2)/((x - 1)^6)

Colocando (x - 1)^2 em evidência

y^(( 3 )) = (6 * (x - 1)^2)/((x - 1)^4 * (x - 1)^2)

E simplificando

y^(( 3 )) = (6)/((x - 1)^4)

Passo 9

Agora para realizar a terceira derivada, vamos separar em duas partes, u e v .

Para

y^(( 3 )) = (6)/((x - 1)^4)

Temos que u = 6 e v = (x - 1)^4

Vamos fazer por partes

Primeiro vamos calcular u '

u = 6

u^' = 0

Segundo v '

v = (x - 1)^4

Aqui temos uma regra da cadeia,

v = f (g (x))

É feita a derivada da de fora aplicada na de detro vezes a derivada da de dentro.

v^' = f ' (g (x)) * g ' (x)

v^' = 4 * (x - 1)^3 * 1

v^' = 4 * (x - 1)^3

Terceiro v^2

v = (x - 1)^4

v^2 = (x - 1)^8

Passo 10

Agora vamos aplicar na fórmula y ' do quociente

y^(( 4 )) = (0 * (x - 1)^4 + 6 * 4 * (x - 1)^3)/((x - 1)^8)

Realizando as multiplicações

y^(( 4 )) = (24 * (x - 1)^3)/((x - 1)^8)

Colocando (x - 1)^3 em evidência

y^(( 4 )) = (24 * (x - 1)^3)/((x - 1)^5 * (x - 1)^3)

E simplificando

y^(( 4 )) = (24)/((x - 1)^5)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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