5-22. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

8. lim x ,  y → ( 3 ,   2 ) ⁡ e 2 x - y

Passo 1

Faaalaaaaaaa, meu parceiro. Vamos de mais uma resolução.

A gente tem a função:

lim x ,  y → ( 3 ,   2 ) ⁡ e 2 x - y

E devemos resolver ela, ou devemos mostrar que o limite dela não existe.

Primeira coisa que podemos fazer para tentar resolver esse tipo de atividade é procurar saber se nossa função é continua dentro do ponto que estamos trabalhando, caso ela seja, poderemos substituir os valores de x , y e resolvermos a questão.

Caso ela não seja, teremos que testar se o limite que estamos trabalhando não existe com o teste:

Isso é, iremos tomar diferentes caminho para chegar em 3,2 e caso os limites desses diferentes caminhos sejam distintos, então o limite não existe.

Passo 2

Então galera, antes de determinarmos o limite vamos ver se a função que nos foi dada é contínua no ponto em questão, tudo bem? Nossa função é:

f x ,   y = e 2 x - y

Como a raíz quadrada não pode ser negativa, temos que 2 x - y > 0 . Para o ponto dado ( 3 ,   2 ) , temos:

2 ⋅ 3 - 2 = 4 > 0

Sendo assim, problemas de continuidade não aparecem!

Tudo bem, agora que vimos que f é contínua, vamos determinar o limite.

Como não há indeterminação e nem nada do tipo para o ponto dado, temos que o resultado do limite será apenas a substituição do ponto dado na função, se liga:

lim x ,  y → ( 3 ,   2 ) ⁡ f ( x ,   y ) = f ( 3 ,   2 )

f x ,   y = e 2 x - y

f 3 ,   2 = e 2.3 - 2 = e 2

Portanto, temos que:

lim x ,  y → ( 3 ,   2 ) ⁡ e 2 x - y = e 2

Resposta

lim x ,  y → ( 3 ,   2 ) ⁡ e 2 x - y = e 2

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