Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 4 - 4 y 4 x 2 + 2 y 2

Passo 1

E aí, galera. Beleza?

Bom, nessa questão nós temos que analisar a função dada e calcular o limite pedido. Caso ele não exista, devemos mostrar isso.

Tranquilo? Vem comigo então.

Passo 2

Não dá para substituir direto x , y = ( 0,0 ) porque a gente chega numa indeterminação.

Vamos fatorar a função então...

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 4 - 4 y 4 x 2 + 2 y 2 = l i m x , y → ( 0,0 ) ( x 2 + 2 y 2 ) ( x 2 - 2 y 2 ) x 2 + 2 y 2

Agora nós simplificamos o termo que se repete na fração e sobra:

l i m x , y → ( 0,0 ) x 2 - 2 y 2

Substituímos...

= 0 2 - 2 0 2 = 0

Prontinho! O limite então é zero😉

Resposta

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 4 - 4 y 4 x 2 + 2 y 2 = 0

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