Enunciado

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

lim x , y → ( 1,0 ) ⁡ x y - y x - 1 2 + y 2

Passo 1

Não dá pra substituir direto porque a gente chega numa indeterminação.

Vamos ver o limite por dois caminhos diferentes então.

Vamos fazer percorrendo a função ao longo do eixo x .

f x , 0 = 0 x - 1 2 = 0

O limite nesse caso é zero então.

Vamos ver agora pelo caminho:

f x , x - 1 =   x x - 1 - ( x - 1 ) x - 1 2 + x - 1 2 = x 2 - x - x + 1 2 x - 1 2 =   x 2 - 2 x + 1 2 x - 1 2

= x - 1 2 2 x - 1 2 = 1 2

Então o limite por esse caminho é 1 2 .

Ou seja, a função apresenta limites diferentes quando é percorrida por dois caminhos diferentes, então o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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