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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 53

53. Uma bola cai do repouso e após t s sua velocidade é v m/s. Desprezando a resistência do ar, mostre que a velocidade média durante o primeiro 1 2 T s é um terço da velocidade durante 1 2 T s seguinte.

Passo 1

Bem, nós precisamos aplicar o teorema do valor médio para t de 0 até 1 2 T s e depois para t de 1 2 T até T s, então comparamos esses valores médios, ok?

Passo 2

Lembra do teorema do valor médio, ele diz o seguinte:

Se a função f for contínua no intervalo fechado [a,b], existe um número x nesse intervalo tal que:

∫ a b f ( x ) = f ( x ) ( b - a )

Agora, nós temos f ( x ) , que é o E , e ( b - a ) . Ao isolarmos o f ( x ) fica assim

f x = 1 ( b - a ) ∫ a b f ( x )

Assim vamos calcular o valor médio (VM) de f ( x )

Passo 3

Vamos escrever nossa função v em função de t . Siga-me...

Sabemos que d v d t = a , derivar a velocidade com o tempo nos dá a aceleração, vamos considerar a constante.

∫ d v = a ∫ d t

v = a t + C

Como v = 0 em t = 0 , C = 0

v = a t

Foi? Temos nossa função v ( t ) agora.

Passo 4

Calcular o primeiro valor médio, para t de 0 até 1 2 T s

V M 1 = 1 (   1 2 T - 0 ) ∫ 0   1 2 T v ( t )   d t

V M 1 = 1 (   1 2 T - 0 ) ∫ 0   1 2 T a t   d t

V M 1 = 2 T . a t 2 2 0 1 2 T

V M 1 = 1 T . a ( 1 2 T ) 2 - 0

V M 1 = 1 T . a . T 4 2 = a T 4

Passo 5

Calcular o segudo valor médio, para t de 1 2 T até T s.

V M 2 = 1 (   T - 1 2 T ) ∫ 1 2 T   T a t   d t

V M 2 = 1 a (   1 2 T ) t 2 2 1 2 T T

V M 2 = 2 a T t 2 2 1 2 T T

V M 2 = 1 a T T 2 - ( 1 2 T ) 2

V M 2 = 1 a T T 2 - 1 4 T 2

V M 2 = 1 a T 3 T 2 4 = 3 a T 4

Passo 6

Agora, vamos comparar os dois V M ' s

V M 1 V M 2 = a T 4 3 a T 4 = 1 3

Então V M 1 = 1 3 V M 2 Provadíssimo

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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