Seja f uma função linear. Use o gráfico de f para explicar por que o valor médio de f em [a, b] é

f(a + b / 2)

Passo 1

Esse é o gráfico de uma função linear genérica:

Vamos tentar usar ele para provar o que o enunciado pediu. Vem comigo!

Passo 2

A fórmula do valor médio de uma função é:

f m = 1 b - a ∫ a b f ( x ) d x

Como essa integral é uma área, podemos interpretar a área abaixo do nosso gráfico como um triângulo e um retângulo, e reescrever essa integral assim:

∫ a b f ( x ) d x = b - a f a + b - a 2 f b - f a = b - a f a + f b 2  

O valor médio fica:

f m = f a + f b 2

Passo 3

Como a função é linear, valem relações de linearidade:

f α x 1 + β x 2 = α f x 1 + β f x 1

Então podemos fazer o caminho inverso do que fizemos nesse exemplinho aí de cima, com o nosso valor de f m :

f m = f a + f b 2 = f a + b 2 = f a + b 2

Que é exatamente o que ele pede para provar!

Resposta

Prova nos passos

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