Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.8 - Ex. 17
Seja uma função linear. Use o gráfico de para explicar por que o valor médio de em é
Passo 1
Esse é o gráfico de uma função linear genérica:
Vamos tentar usar ele para provar o que o enunciado pediu. Vem comigo!
Passo 2
A fórmula do valor médio de uma função é:
Como essa integral é uma área, podemos interpretar a área abaixo do nosso gráfico como um triângulo e um retângulo, e reescrever essa integral assim:
O valor médio fica:
Passo 3
Como a função é linear, valem relações de linearidade:
Então podemos fazer o caminho inverso do que fizemos nesse exemplinho aí de cima, com o nosso valor de
Que é exatamente o que ele pede para provar!
Resposta
Prova nos passos
Exercícios de Livros Relacionados
Suponha que uma bola saia do repouso e após t segundos sua velocidade seja V m/s. Desprezando a resistência do ar, expresse V em termos de t como v = f(t) e ache o valor médio de f [0,2]. (sugestão :
Suponha que F seja continua em [a,b] e ∫ b a f ( x ) d x = 0 . Prove que existe pelo menos um numero c em [a,b] tal que f(c) = 0
Mostre que se g(x) = 1, o teorema ∫ b a f ( x ) g ( x ) d x = f ( x 0 ) ∫ b a g ( x ) d x , torna-se o teorema do valor médio para integrais.
Ache o valor médio da função f definida por f(x) = 49 - x ² ², no intervalo [0,7]. Faça uma figura. (Sugestão : ache o valor da integral definida, interpretando-a como a medida da área da região encer
Use int_b^a f (x) g (x) d x = f (x_0) int_b^a g (x) d x p a r a p r o v a r a d e s i g u a l d e int_(- 1 // 2)^(1 // 2) s e n^2 (pi x) c o s ( pi x ) d x = int_(- 1 // 2)^(1 // 2) c o s ( pi x ) d x