53. Se o comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser , qual é o maior volume possível?
Passo 1
Inicialmente, vamos considerar os lados do retângulo como , e . Então a diagonal fica o seguinte:
E o volume fica:
E queremos saber o mínimo da seguinte função:
Pois, assim, encontramos o menor volume.
Passo 2
Da primeira equação:
Isolando o termo :
Substituindo na função :
A ideia vai ser encontrar os pontos críticos e ver qual é o ponto de mínimo. Então, vamos fazer e
Passo 3
Para o :
Usando a regra do produto, temos:
Logo,
Para o :
Assim,
Igualando a zero, temos:
Logo,
Passo 4
Então temos o seguinte:
Como :
Resolvendo o sistema:
Agora é só achar o .
Assim,
Então o volume fica o seguinte: