Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.10 - Ex. 32
Use a série binomial para expandir a função como uma série de potência. Especifique o raio de convergência.
Passo 1
Olá pessoal, tudo bem?
Nesse exercício iremos analisar a função e expandi-la como uma série de potências usando a série binomial.
Primeiramente, vamos reescrever a função de forma mais conveniente para aplicar a série binomial:
Reescrevendo a expressão da raiz:
Passo 2
Agora, aplicamos a série binomial à expressão . A série binomial geral para é dada por:
Onde o coeficiente binomial é definido como:
No nosso caso, e :
Portanto, a função pode ser expandida como:
Substituindo os coeficientes binomiais, obtemos:
Passo 3
Dessa forma, simplificando e escrevendo como série de potência, obtemos:
Passo 4
Utilizando a propriedade da raiz cúbica de um produto, podemos separar a constante da parte variável . Essa propriedade estabelece que a raiz cúbica de um produto é igual ao produto das raízes cúbicas dos fatores.
Então, para , podemos escrever:
Sabendo que , ficaremos com:
Portanto, a função pode ser reescrita como:
Passo 5
Agora, para determinar o raio de convergência da série, utilizamos o teste da razão para verificarmos a condição para a convergência:
Isso implica que:
Sendo assim, o raio de convergência é: