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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 52

Suponha que todas as funções dadas tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.

Se z = f ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ , determine (a) ∂ z / ∂ r , (b) ∂ z / ∂ θ , (c) ∂ 2 z / ∂ r ∂ θ

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivadas parcias com regra da cadeia, vamos lá!

A questão diz pra gente que uma função do tipo z = f ( x , y ) tem x = r cos ⁡ θ e y = r sen ⁡ θ e em seguida pede pra gente determinar as derivadas parciais de z em r e θ !

Mas veja que z não é exatamente uma função de ( r , θ ) , para isso a gente vai usar a regra da cadeia!

Vamos relembrar a regra da cadeia para funções múltiplas variáveis:

Para uma função no formato z ( x , y ) onde x = x ( r , θ ) e y = y ( r , θ ) , a derivada d z / d r pode ser definida como:

∂ z ∂ r =   ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ r + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ r

E a derivada d z / d θ pode ser definida como:

∂ z ∂ θ =   ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ θ + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ θ

Dessa forma só precisamos encontrar os termos dessas fórmulas e teremos nossa resposta!

Além disso, em seguida o enunciado pede pra gente encontrar a seguinte derivada

∂ 2 z ∂ r ∂ θ

Para isso a gente só precisa pegar a expressão que encontrarmos em ∂ z / ∂ θ e derivar novamente, usando a regra da cadeia, em r !

Passo 2

Vamos começar definindo as derivadas de x e y nas variáveis r e θ !

Seja

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

Então vamos ter

∂ x ∂ r = cos ⁡ θ

∂ y ∂ r = sen ⁡ θ

∂ x ∂ θ = - r sen ⁡ θ

∂ y ∂ θ = r cos ⁡ θ

Dessa forma, a derivada de z em relação a r será

∂ z ∂ r = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ r + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ r

∂ z ∂ r = ∂ z ∂ x cos ⁡ θ + ∂ z ∂ y sen ⁡ θ

Passo 3

Da mesma forma, substuindo na fórmula da derivada de z em relação a θ temos

∂ z ∂ θ = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ θ + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ θ

∂ z ∂ θ = - ∂ z ∂ x r sen ⁡ θ + ∂ z ∂ y r cos ⁡ θ

Passo 4

A questão nos pede

∂ 2 z ∂ r ∂ θ

Ou ainda

∂ ∂ r ∂ z ∂ θ

∂ ∂ r ∂ z ∂ θ = ∂ ∂ r - ∂ z ∂ x r sen ⁡ θ + ∂ z ∂ y r cos ⁡ θ

Para distribuir isso a gente pode aplicar a regra do produto nos dois termos do parêntese!

De forma que ficamos com o seguinte:

Para o termo que acompanha o seno

∂ ∂ r - ∂ z ∂ x r sen ⁡ θ = - ∂ ∂ r ∂ z ∂ x r sen ⁡ θ - ∂ z ∂ x ∂ ∂ r r sen ⁡ θ

Para o termo que acompanha o cosseno

∂ ∂ r ∂ z ∂ y r cos ⁡ θ = ∂ ∂ r ∂ z ∂ y r cos ⁡ θ + ∂ z ∂ y ∂ ∂ r r cos ⁡ θ

Então o que estamos buscando é a soma desses dois termos

∂ ∂ r ∂ z ∂ θ = - ∂ ∂ r ∂ z ∂ x r sen ⁡ θ - ∂ z ∂ x ∂ ∂ r r sen ⁡ θ + ∂ ∂ r ∂ z ∂ y r cos ⁡ θ + ∂ z ∂ y ∂ ∂ r r cos ⁡ θ

Resolvendo as derivadas de primeira ordem

∂ ∂ r ∂ z ∂ θ = - ∂ ∂ r ∂ z ∂ x r sen ⁡ θ - ∂ z ∂ x sen ⁡ θ + ∂ ∂ r ∂ z ∂ y r cos ⁡ θ + ∂ z ∂ y cos ⁡ θ

Então só nos falta encontrar

∂ ∂ r ∂ z ∂ x

E

∂ ∂ r ∂ z ∂ y

E para isso a gente pode usar aquela fórmula de ∂ z / ∂ r e substituir z por ∂ z / ∂ x e ∂ z / ∂ y !

De forma que

∂ ∂ r ∂ z ∂ x = ∂ ∂ x ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ r + ∂ ∂ y ∂ z ∂ x ⋅ ∂ y ∂ r

Ou ainda

∂ ∂ r ∂ z ∂ x = ∂ ² z ∂ x ² ⋅ ∂ x ∂ r + ∂ ² z ∂ y ∂ x ⋅ ∂ y ∂ r

Nos dando

∂ ∂ r ∂ z ∂ x = ∂ ² z ∂ x ² ⋅ cos ⁡ θ + ∂ ² z ∂ y ∂ x ⋅ sen ⁡ θ

E também

∂ ∂ r ∂ z ∂ y =   ∂ ∂ x ∂ z ∂ y ⋅ ∂ x ∂ r + ∂ ∂ y ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ r

Ou ainda

∂ ∂ r ∂ z ∂ y =   ∂ ² z ∂ x ∂ y ⋅ ∂ x ∂ r + ∂ ² z ∂ y ² ⋅ ∂ y ∂ r

Nos dando

∂ ∂ r ∂ z ∂ y =   ∂ ² z ∂ x ∂ y ⋅ cos ⁡ θ + ∂ ² z ∂ y ² ⋅ sen ⁡ θ

Substituindo essas duas equações na nossa expressão ficamos com

∂ ∂ r ∂ z ∂ θ = - ∂ 2 z ∂ x 2 ⋅ cos ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y ∂ x ⋅ sen ⁡ θ r sen ⁡ θ - ∂ z ∂ x sen ⁡ θ

+ ∂ 2 z ∂ x ∂ y ⋅ cos ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 ⋅ sen ⁡ θ r cos ⁡ θ + ∂ z ∂ y cos ⁡ θ

Distribuindo esses termos

∂ ∂ r ∂ z ∂ θ = - ∂ 2 z ∂ x 2 ⋅ r cos ⁡ θ sen ⁡ θ - ∂ 2 z ∂ y ∂ x ⋅ r sen ² ⁡ θ - ∂ z ∂ x sen ⁡ θ

+ ∂ 2 z ∂ x ∂ y ⋅ r cos ² ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y 2 ⋅ r cos ⁡ θ sen ⁡ θ + ∂ z ∂ y cos ⁡ θ

“Simplificando”

∂ ∂ r ∂ z ∂ θ = ∂ 2 z ∂ y 2 - ∂ 2 z ∂ x 2 r cos ⁡ θ sen ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y ∂ x r ( cos 2 ⁡ θ - sen ² ⁡ θ ) + ∂ z ∂ y cos ⁡ θ - ∂ z ∂ x sen ⁡ θ

Resposta

(a)

∂ z ∂ r = ∂ z ∂ x cos ⁡ θ + ∂ z ∂ y sen ⁡ θ

(b)

∂ z ∂ θ = - ∂ z ∂ x r sen ⁡ θ + ∂ z ∂ y r cos ⁡ θ

(c)

∂ 2 z ∂ r ∂ θ = ∂ 2 z ∂ y 2 - ∂ 2 z ∂ x 2 r cos ⁡ θ sen ⁡ θ + ∂ 2 z ∂ y ∂ x r ( cos 2 ⁡ θ - sen ² ⁡ θ ) + ∂ z ∂ y cos ⁡ θ - ∂ z ∂ x sen ⁡ θ

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3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.b) Supondo f ( x , y ) de classe C 3 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 x , y + 3 h 2 k ∂ 3 f ∂ x
9. Sejam f x , y de Classe C 2 num aberto R 2 , g x derivável até a 2ª ordem num intervalo aberto I e tais que, para to x ∈ I ,f x , g x = 0 (isto é, y = g ( x ) é dada implicitamente pela equação f x
7. Seja g (u , v) = f (2 u + v , u - 2 v) , onde f ( x , y ) é suposta de classe C^2 . Verifique que (del^2 g)/(del u^2) + (del^2 g)/(del v^2) = 5 (del^2 f)/(del x^2) + 5 (del^2 f)/(del y^2)
11. Suponha que f ( x , y ) satisfaça a equação ∂ 2 f ∂ x 2 = c 2 ∂ 2 f ∂ t 2 ( c ≠ 0 constante). (i)a) Deteremine constante m , n , p e q para que g u , v = f x , t , onde x = m u + n v e t = p u - q
Seja F (r , theta , t) = f ( x , y , t ) onde x = r c o s theta e y = r s e n theta . Suponha que (c != 0 constante)(del^2 f)/(del t^2) = c^2 [(del^2 f)/(del x^2) + (del^2 f)/(del y^2)] . Mostre que (