Calcule f'(x) onde f(x) é igual a

(x^2 + 1) / sec(x)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

h x g x ' = h ' x g x - h x g ' x g x 2

Temos que:

h x = x 2 + 1

e

g x = sec ⁡ x

Vamos agora só montar na fórmula:

f ' x = x 2 + 1 sec ⁡ x ' = x 2 + 1 ' ⋅ sec ⁡ x - x 2 + 1 ⋅ sec ⁡ x ' sec ⁡ x 2

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da função trigonométrica:

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

sec ⁡ x ' = sec ⁡ x ⋅ tg ⁡ x

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , a regra do polinômio e da função constante:

h ' ( x ) = x 2 + 1 ' = 2 x 2 - 1 + 0 = 2 x 1 = 2 x

Com g ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

g ' ( x ) = sec ⁡ x ' = sec ⁡ x tg ⁡ x

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f ' x = x 2 + 1 sec ⁡ x ' = x 2 + 1 ' ⋅ sec ⁡ x - x 2 + 1 ⋅ sec ⁡ x ' sec ⁡ x 2 = 2 x ⋅ sec ⁡ x - x 2 + 1 ⋅ sec ⁡ x tg ⁡ x sec 2 ⁡ x = 2 x - x 2 + 1 tg ⁡ x sec ⁡ x

Resposta

f ' ( x ) = 2 x - x 2 + 1 tg ⁡ x sec ⁡ x

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