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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 9o

Calcule f^' (x) onde f (x) é igual a

(x^2 + 1)/(sec x)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

((h (x))/(g (x)))^' = (h^' (x) g (x) - h (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

h (x) = x^2 + 1

e

g (x) = sec x

Vamos agora só montar na fórmula:

f^' (x) = ((x^2 + 1)/(sec x))^' = ((x^2 + 1)^' * (sec x) - (x^2 + 1) * (sec x) ')/((sec x)^2)

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da função trigonométrica:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

(sec (x))^' = sec (x) * tg (x)

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , a regra do polinômio e da função constante:

h ' ( x ) = (x^2 + 1)^' = 2 x^(2 - 1) + 0 = 2 x^1 = 2 x

Com g ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

g ' ( x ) = (sec x)^' = sec (x) tg (x)

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = ((x^2 + 1)/(sec x))^' = ((x^2 + 1)^' * (sec x) - (x^2 + 1) * (sec x) ')/((sec x)^2) = (2 x * (sec x) - (x^2 + 1) * sec (x) tg (x))/(sec^2 x) = (2 x - (x^2 + 1) tg x)/(sec x)

Resposta

f^' ( x ) = (2 x - (x^2 + 1) tg x)/(sec x)

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