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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 3

Seja f x = x 2 + 1 x .

  1. Determine o ponto do gráfico de f em que a reta tangente, neste ponto, seja paralela ao eixo x .
  2. Esboce o gráfico de f .

Passo 1

  1. Vamos lá, para encontrar esse ponto primeiro temos que encontrar a derivada da função f x , vamos analisar a função, é um polinômio, vamos ter que usar a fórmula da derivada de polinômio:

x n ' = n x n - 1

Agora é só aplicar, vamos lá?

f ' x = x 2 ' + 1 x ' = 2 x 2 - 1 + x - 1 ' = 2 x + - 1 ⋅ x - 1 - 1 = 2 x - x - 2 = 2 x - 1 x 2

Passo 2

E sabemos que o coeficiente angular m de uma reta é igual a derivada da função:

m = f ' x

Assim temos que para que a reta seja paralela ao eixo x , o coeficiente angular da reta deve ser igual a zero, ou seja, a derivada que acabamos de achar no passo anterior, vamos então igualar ela a zero, e temos a coordenada x do ponto que queremos:

2 x - 1 x 2 = 0 → 2 x 3 - 1 x 2 = 0 → 2 x 3 = 1 → x 3 = 1 2 → x = 1 2 3 = 1 2 3 = 1 2 3 ⋅ 2 3 2 3 ⋅ 2 3 2 3 = 4 3 2

Por último é só substituir na equação da reta para achar a coordenada y do ponto:

f 4 3 2 = 4 3 2 2 + 1 4 3 2 = 4 3 ⋅ 4 3 4 + 2 4 3 = 16 3 4 + 2 4 3 ⋅ 4 3 4 3 ⋅ 4 3 4 3 = 2 4 3 4 + 2 16 3 4 = 2 2 3 4 + 2 ⋅ 2 ⋅ 2 3 4 = 2 3 2 + 2 2 3 2 = 3 2 3 2

O ponto então é:

4 3 2 , 3 2 3 2

Passo 3

  1. Vamos esboçar o gráfico da função:

Resposta

  1. 4 3 2 , 3 2 3 2
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