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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 2

Prove D_x (c o s e c x) = - c o s e c x c o t g x

Passo 1

Sabemos que c o s e c (x) = (1)/(s e n ( x ))

Assim nossa equação fica:

D_x ((1)/(s e n (x))) = - c o s e c (x) c o t g ( x )

Usaremos a regra do quociente para derivar as funções.

Regra do quociente:

D_x ((f (x))/(g (x))) = (D_x (f ( x )) * g ( x ) - D_x (g ( x )) * (f ( x )))/((g ( x ))^2)

Passo 2

Aplicando na função que temos:

D_x ((1)/(s e n (x))) = (D_x (1) * (s e n x) - D_x (s e n x) * (1))/((s e n x)^2)

= (0 * (s e n x) - ( c o s x ))/(( s e n x ) ²)

= (- c o s x)/(( s e n x ) ²)

= - (1)/((s e n x)) * (c o s x)/(s e n x)

Passo 3

Pela identidade trigonométrica sabemos que:

c o t g ( x ) = (c o s ( x ))/(s e n ( x ))

Vimos também que:

c o s e c (x) = (1)/(s e n ( x ))

Passo 4

Substituindo no nosso resultado:

D_x (c o s e c x) = - c o s e c x c o t g x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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