Determine o limite infinito.

lim x → 2 π - ⁡ x csc ⁡ x   ⁡  

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... a questão quer que determinemos o seguinte limite infinito:

lim x → 2 π - ⁡ x csc ⁡ x   ⁡  

Lembrando que a cossecante é o inverso do seno, ou seja:

csc ⁡ x = 1 sin ⁡ x

Em outras palavras, podemos reescrever os seguinte limite:

lim x → 2 π - ⁡ x sin ⁡ x   ⁡  

Em outras palavras, a questão nos diz que esse limite é infinito, ou seja, ele diverge. Mas queremos saber se irá divergir para + ∞ ou - ∞ .

Para isso, temos que aplicar o x → 2 π - no numerador e no denominador para verificarmos se estes apresentarão resultados positivos ou negativos.

Agora bora colocar isso em prática!! 😉

Passo 2

Aplicando primeiramente ao numerador, temos que:

lim x → 2 π - ⁡ x ≈ 2 π

Ou seja, o numerador tenderá para um número positivo. Aqui, o fato de x → 2 π pelos números à esquerda não faz diferença no resultado.

E para o denominador temos que:

lim x → 2 π - ⁡ sin ⁡ x

Aqui, o fato de x → 2 π pelos números à esquerda faz diferença no resultado.

Perceba que se fizermos um número ligeiramente menor do que 2 π , o seno tenderá a zero pelos números positivos. Veja a seta verde no círculo trigonométrico da função seno:

Assim, resultaremos em um número negativo próximo de zero.

Portanto, o denominador é um valor negativo que se aproxima de 0 . E, assim, temos que:

lim x → 2 π - ⁡ 1 sin ⁡ x = - ∞

Passo 3

Aplicando a propriedade do produto para o limite, obtemos por fim que:

lim x → a ⁡ f x × g x = lim x → a ⁡ f x × lim x → a ⁡ g x

lim x → 2 π - ⁡ x sin ⁡ x   ⁡   = lim x → 2 π - ⁡ x   ⁡   × lim x → 2 π - ⁡ 1 sin ⁡ x   ⁡   ∴

lim x → 2 π - ⁡ x sin ⁡ x   ⁡   = 2 π * - ∞ ∴

lim x → 2 π - ⁡ x sin ⁡ x   ⁡   = - ∞

Resposta

- ∞

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