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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 34

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas retas e curvas em torno do eixo y

x = cos ⁡ π y 4

- 2 ≤ y ≤ 0

x = 0

Passo 1

A curva que ele deu é:

x = cos ⁡ π y 4

Aqui estamos trabalhando com funções em y porque vamos rotacionar ao redor do eixo y .

Essa curva é mesmo estranha de ver com facilidade, mas ele disse que está limitada por:

- 2 ≤ y ≤ 0

Para entendermos como é a região e qual vai ser a integral, vamos olhar um esboço dela:

A região é entre a curva verde e a azul.

Entao a região vai de y = - 2 até y = 0 . Onde o raio do disco vai ser a função verde, lembrando que estamos pegando uma função de y :

r y = cos ⁡ π y 4

O volume vai ser:

V = ∫ - 2 0 π cos ⁡ π y 4 2 d y

Como estamos pegando a parte positiva da função de y , ou seja, à direita do eixo y , podemos cortar a raiz com o quadrado sem precisar colocar módulo:

cos ⁡ π y 4 2 = cos ⁡ π y 4

V = ∫ - 2 0 π cos ⁡ π y 4 d y

Passo 2

Vamos resolver essa integral:

V = ∫ - 2 0 π cos ⁡ π y 4 d y

V = π ∫ - 2 0 cos ⁡ π y 4 d y

Primeiro, vamos ver a integral indefinida:

∫ cos ⁡ π y 4 d y

Pra resolver essa integral, vamos fazer a seguinte substituição:

π y 4 = a → π 4 d y = d a → d y = 2 d a π

A nossa integral vai ficar:

∫ cos ⁡ π y 4 d y = ∫ cos ⁡ a 2 d a π = 2 π ∫ cos ⁡ a d a

Resolvendo a integral em a

2 π ∫ cos ⁡ a d a = 2 π sen ⁡ a + C = 2 sen ⁡ a π + C

Voltando para y :

= 2 sen ⁡ a π + C = 2 sen ⁡ π y 4 π + C

Passo 3

Voltando para a nossa integral definida:

V = π ∫ - 2 0 cos ⁡ π y 4 d y = π 2 sen ⁡ π y 4 π - 2 0 =

π 2 sen ⁡ π 0 4 π - π 2 sen ⁡ π - 2 4 π =

π 2 sen ⁡ 0 π - π 2 sen ⁡ - π 2 π =

π 0 - π 2 - 1 π =

- - 2 =

2

Resposta

2

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