Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

15-

a_n = n(n - 1)

Passo 1

Vamos lá! Primeiro ponto aqui é observar que, para na sequência dada no enunciado

a n = n ( n - 1 )

Podemos realizar a operação de distribuição. Assim teremos,

a n = n 2 - n

Ou seja,

a n = n ( n - 1 ) =   n 2 - n

Beleza?

Passo 2

Agora vamos tentar entender o comportamento dessa sequência conforme ela cresce,

Para n = 1

n 2 - n =   1 2 - 1 = 0

Para n = 2

n 2 - n =   2 2 - 2 = 2

Para n = 3

n 2 - n =   3 2 - 3 = 6

Para n = 10

n 2 - n =   10 2 - 10 = 90

Ou seja, se observarmos n 2 - n quando n é muito grande, a influência do termo - n torna-se insignificante em comparação com n 2 .

Então, basicamente, a sequência se comporta como n 2 quando n é grande.

Passo 3

Então, se aplicarmos o limite para n → ∞ encontramos:

lim n → ∞ ⁡ a n = ∞

Uma vez que n 2 cresce muito mais rápido que n , logo essa sequência diverge.

Resposta

A sequência diverge e o lim n → ∞ ⁡ a n = ∞

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