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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 14

Seja K o conjunto do plano x y limitado pelas curvas (em coordenadas polares) ρ 2 = cos ⁡ 2 θ , - π 4 ≤ θ ≤ π 4 ,   e   θ = π 4 . Calcule a área da superfície z = x y , x , y ∈ K .

Passo 1

A gente sabe que pra calcular área de superfície, nós usamos a fórmula:

A = ∬ K 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d x d y

Vamos trazer isso pro nosso caso então...

As derivadas parciais da superfície z = x y é:

∂ z ∂ x = y     e     ∂ z ∂ y = x

Então na fórmula teríamos:

A = ∬ K 1 + x 2 + y 2   d x d y

Como a gente tá lidando com coordenadas polares, e sabemos que:

x = ρ cos ⁡ θ y = ρ s e n   θ ,       x 2 + y 2 = ρ 2 ;           d x d y = ρ d ρ d θ

Passo 2

E então, usando os intervalos encontrados anteriormente e essa relação, podemos escrever nossa integral da área:

A = ∫ - π 4 π 4 ∫ 0 cos ⁡ 2 θ 1 + ρ 2   ρ d ρ d θ

Beleza, só calcular agora😊

Vamos começar com uma substituição simples: u = 1 + ρ 2 → d u = 2 ρ . A = ∫ - π 4 π / 4 1 2 ∫ u   d u

A = 1 2 ∫ - π 4 π 4 2 3 u 3 2 d θ

Passo 3

Vamos voltar pra variável ρ agora:

A = 1 2 ∫ - π 4 π 4 2 3 1 + ρ 2 3 2 0 cos ⁡ 2 θ d θ

A = 1 2 ⋅ 2 3 ∫ - π 4 π 4 1 + cos ⁡ 2 θ 3 / 2 - 1   d θ

Usando a relação cos ⁡ 2 θ = 2 cos 2 θ ⁡ - 1 , a gente faz:

A = 1 3 ∫ - π 4 π 4 ( 2 cos 2 ⁡ θ ) 3 2 - 1   d θ

A = 1 3 ∫ - π 4 π 4 2 2 cos 3 ⁡ θ - 1   d θ

A = 2 2 3 ∫ - π 4 π 4 cos 3 ⁡ θ - 1     d θ

Resolvendo essa última integral agora e aplicando os intervalos de integração:

A = 2 2 3 s e n   x - s e n x 3 3 - θ - π 4 π 4

A = 2 2 3 2 2 - 2 2 8 - π 4 - - 2 2 - 2 2 8 + π 4

A = 2 2 3 2 - π 2

A = 4 3 - 2 π 3

A = 4 - 2 π 3

Prontinho! Essa é a área😉

Resposta

A = 4 - 2 π 3

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