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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 9.4 - Ex. 1h

Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo:

g )   f x , y , z = z ;   σ é a parte da superfície z 2 = x 2 + y 2 que se encontra acima do paraboloide 4 z = x 2 + y 2 + 3 .

Passo 1

A gente tem que fazer:

∬ K f σ u , v ∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v d u d v

Vamos chamar x = u e y = v . Vamos ter a parametrização:

σ u , v = u , v ,   u 2 + v 2

Daí as derivadas parciais são:

∂ σ ∂ u = 1 ,   0 , u u 2 + v 2

∂ σ ∂ v = ( 0,1 , v u 2 + v 2

∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v =   i → j → k → 1 0 u u 2 + v 2 0 1 v u 2 + v 2

= i → 0 u u 2 + v 2 1 v u 2 + v 2 - j → 1 u u 2 + v 2 0 v u 2 + v 2 + k → 1 0 0 1

= - u u 2 + v 2 i → -   j → - v u 2 + v 2 + k → ( 1 )

= - u u 2 + v 2 i → + v u 2 + v 2 j → + 1 k →

Passo 2

Agora a gente faz a norma disso pra aplicar na fórmula:

∂ σ ∂ u ∧ ∂ σ ∂ v = u u 2 + v 2 2 + v u 2 + v 2 2 + ( 1 ) 2 = u 2 + v 2 u 2 + v 2 + 1 = 1 + 1 = 2

Aí jogando na fórmula:

∬ K z 2

Pra fazer essa integral nessa região, a gente vai usar coordenadas polares. Olha só:

z 2 - 4 z + 3 ≥ 0

Ou seja: 1 ≤ z ≤ 3 . E como z 2 = ρ 2 , ficamos com o intervalo 1 ≤ ρ ≤ 3 .

A integral então fica:

∫ 0 2 π ∫ 1 3 ρ 2 ρ d ρ d θ

Passo 3

Resolvendo a integral agora, ficamos com:

2 ∫ 0 2 π ρ 3 3 1 3 d θ

= 2 ∫ 0 2 π 27 3 - 1 3 d θ

= 2 26 3 0 2 π

= 52 3 2 π

Prontinho! Calculamos a integral😉

Resposta

52 3 2 π

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