Encontre um valor positivo de k com o qual o valor médio de f(x) = raiz(3x) acima do intervalo [0, k] seja 6 .

Passo 1

Então pessoal, temos que o valor médio de f x = 3 x no intervalo indicado tem que ser 6 , certo? De acordo com o que estudamos, o valor médio de uma função f é dado assim:

f m = 1 b - a ∫ a b f x d x

Onde f m é o valor médio da função f . No nosso caso temos a seguinte integral:

f m = 1 k - 0 ∫ 0 k 3 x d x

Simplificando:

f m = 1 k 3 ∫ 0 k x 1 2 d x

E isso tem que ser 6 , logo:

1 k 3 ∫ 0 k x 1 2 d x = 6

Então temos que resolver essa integral aí!

Passo 2

Para a integral que escrevemos devemos utilizar a seguinte regrinha, galera:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Logo:

1 k 3 ∫ 0 k x 1 2 d x = 1 k 3 2 3 x 3 2 k 0

Aplicando o TFC (Parte 1), teremos:

1 k 3 2 3 x 3 2 k 0 = 1 k 3 2 3 k 3 2

Como isso tem que dar 6 , então:

3 2 3 k 3 2 = 6 k

Isolando k :

k = 3 3 2

∴ k = 27

E esse é o nosso valor de k ! 😉

Resposta

k = 27

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