Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.2 - Ex. 36
Determine o limite infinito.
Passo 1
Fala aí, tudo belezinha com você?
Bom, essa questão é bem direta, ela pede pra gente determinar o lomite infinito dado por:
E a primeira coisa a fazer quando temos que calcular um é substituir o pelo valor que eles está tendendo.
Pode ser que ao fazer isso nós encontremos algum problema, então teremos que modificar um pouco a forma como a função está escrita, para conseguir calcular.
Mas calma que te ajudo com isso.
Passo 2
Nosso limite é:
Substituindo o valor de , ficamos com:
Opa! Caimos em uma indeterminação matemática. Então já sabemos, né?
Teremos que modificar um pouco a forma como a função está escrita.
Passo 3
Nossa função é
Podemos decompor a função fatorando para ficar assim:
Colocamos em evidência no numerador e escrevemos o trinômio quadrado perfeito como um quadrado da diferença no denominador. Então teremos:
O que torna nosso limites um pouco mais simples.
Assim, o que era:
Se torna
Agora vamos novamente tentar calcular esse limite.
Passo 4
Vamos fazer
Quando , para o numerador temos que e para o denominador temos que
Pois estamos nos aproximando por valores a esquerda de .
Portanto, o denominador é um valor negativo que se aproxima de .
Assim, um número positivo dividido por um número negativo que tende a , resulta em . Portanto:
E prontinho, achamos nosso limite infinito.