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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 26

Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso.

y = 1 + ln ⁡ t t

Passo 1

Sempre que eu vejo um quociente em que tem um polinômio no denominador eu já reescrevo da seguinte forma:

y = 1 + ln ⁡ t t = ( t - 1 ) ( 1 + ln ⁡ t )

Isso faz com que em vez de usar a regra do quociente, eu possa usar a regra do produto. (Eu acho a regra do produto mais fácil de guardar, mas é questão de gosto)

Passo 2

Aqui temos um produto entre a função h t = t - 1 e w t = 1 + ln ⁡ t . Logo, pela regra do produto para y = h t w ( t ) temos que

y ' = h ' t w t + h t w ' ( t )

Passo 3

Agora precisamos determinar h ' e w ' . Ambas são derivadas clássicas e valem

h ' = - 1 t - 2 = - t - 2

w ' = 1 + ln ⁡ t ' = 1 ' + ln ⁡ t ' = 0 + 1 t = t - 1

Passo 4

Juntando tudo temos que

y ' = h ' t w t + h t w ' ( t ) = - t - 2 ( 1 + ln ⁡ t ) + t - 1 t - 1 = - t - 2 ( 1 + ln ⁡ t ) + t - 2 = - t - 2 ln ⁡ t = - ln ⁡ t t 2

Resposta

y ' = - ln ⁡ t t 2

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